ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.33 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) ${\log }_{4}x={\log }_{4}2+{\log }_{4}7$

б) $\log_{\frac{1}{3}} x — \log_{\frac{1}{3}} 7 = \log_{\frac{1}{3}} 4$

в) ${\log }_{9}x={\log }_{9}5+{\log }_{9}6$

г) $\log_{\frac{1}{4}} x — \log_{\frac{1}{4}} 9 = \log_{\frac{1}{4}} 5$

Решить уравнение:

а) $\log_4 x = \log_4 2 + \log_4 7 = \log_4(2 \cdot 7) = \log_4 14$;
Ответ: $x = 14$.

б) $\log_{\frac{1}{3}} x — \log_{\frac{1}{3}} 7 = \log_{\frac{1}{3}} 4$;
$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_{\frac{1}{3}} 7 = \log_{\frac{1}{3}}(4 \cdot 7) = \log_{\frac{1}{3}} 28$;
Ответ: $x = 28$.

в) $\log_9 x = \log_9 5 + \log_9 6 = \log_9(5 \cdot 6) = \log_9 30$;
Ответ: $x = 30$.

г) $\log_{\frac{1}{4}} x — \log_{\frac{1}{4}} 9 = \log_{\frac{1}{4}} 5$;
$\log_{\frac{1}{4}} x = \log_{\frac{1}{4}} 5 + \log_{\frac{1}{4}} 9 = \log_{\frac{1}{4}}(5 \cdot 9) = \log_{\frac{1}{4}} 45$;
Ответ: $x = 45$.

а)

Уравнение:

$$\log_4 x = \log_4 2 + \log_4 7$$

Шаг 1. Применим свойство логарифмов:

$$\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$$ $$\log_4 2 + \log_4 7 = \log_4 (2 \cdot 7) = \log_4 14$$

Шаг 2. Получаем:

$$\log_4 x = \log_4 14$$

Шаг 3. По свойству:

$$\log_a x = \log_a y \Rightarrow x = y$$

Следовательно:

$$x = 14$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle }}$$\boxed{x = 14}$

б)

Уравнение:

$$\log_{\frac{1}{3}} x — \log_{\frac{1}{3}} 7 = \log_{\frac{1}{3}} 4$$

Шаг 1. Используем:

$$\log_a x — \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)$$

Это можно записать как:

$$\log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{x}{7}\right) = \log_{\frac{1}{3}} 4$$

Шаг 2. Теперь приравниваем логарифмы:

$$\log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{x}{7}\right) = \log_{\frac{1}{3}} 4 \Rightarrow \frac{x}{7} = 4$$

Шаг 3. Умножаем обе части на 7:

$$x = 4 \cdot 7 = 28$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle }}$$\boxed{x = 28}$

в)

Уравнение:

$$\log_9 x = \log_9 5 + \log_9 6$$

Шаг 1. Применим свойство:

$$\log_9 5 + \log_9 6 = \log_9 (5 \cdot 6) = \log_9 30$$

Шаг 2. Получаем:

$$\log_9 x = \log_9 30 \Rightarrow x = 30$$

Ответ: $$$\boxed{x = 30}$

г)

Уравнение:

$$\log_{\frac{1}{4}} x — \log_{\frac{1}{4}} 9 = \log_{\frac{1}{4}} 5$$

Шаг 1. Используем свойство:

$$\log_a x — \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)$$

Запишем:

$$\log_{\frac{1}{4}} \left(\frac{x}{9}\right) = \log_{\frac{1}{4}} 5$$

Шаг 2. Приравняем:

$$\frac{x}{9} = 5 \Rightarrow x = 5 \cdot 9 = 45$$

Ответ: $$$\boxed{x = 45}$