ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.34 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а) $\log_6 12 + \log_6 x = \log_6 24$;
$\log_6 x = \log_6 24 — \log_6 12 = \log_6 \frac{24}{12} = \log_6 2$;
Ответ: $x = 2$.

б) $\log_{0{,}5} 3 + \log_{0{,}5} x = \log_{0{,}5} 12$;
$\log_{0{,}5} x = \log_{0{,}5} 12 — \log_{0{,}5} 3 = \log_{0{,}5} \frac{12}{3} = \log_{0{,}5} 4$;
Ответ: $x = 4$.

в) $\log_5 13 + \log_5 x = \log_5 39$;
$\log_5 x = \log_5 39 — \log_5 13 = \log_5 \frac{39}{13} = \log_5 3$;
Ответ: $x = 3$.

г) $\log_{\frac{1}{3}} 8 + \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 4$;
$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 4 — \log_{\frac{1}{3}} 8 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{4}{8} = \log_{\frac{1}{3}} 0{,}5$;
Ответ: $x = 0{,}5$.

а)

Уравнение:

$$\log_6 12 + \log_6 x = \log_6 24$$

Шаг 1. Переносим $\log_6 12$ в правую часть уравнения:

$$\log_6 x = \log_6 24 — \log_6 12$$

Шаг 2. Используем свойство логарифмов:

$$\log_a b — \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right)$$

Применим:

$$\log_6 x = \log_6 \left( \frac{24}{12} \right)$$

Шаг 3. Сократим дробь:

$$\frac{24}{12} = 2 \Rightarrow \log_6 x = \log_6 2$$

Шаг 4. Применяем основное свойство логарифма:

$$\log_a x = \log_a y \Rightarrow x = y \Rightarrow x = 2$$

Ответ: $$$\boxed{x = 2}$

б)

Уравнение:

$$\log_{0{,}5} 3 + \log_{0{,}5} x = \log_{0{,}5} 12$$

Шаг 1. Переносим $\log_{0{,}5} 3$ в правую часть:

$$\log_{0{,}5} x = \log_{0{,}5} 12 — \log_{0{,}5} 3$$

Шаг 2. Применим свойство:

$$\log_a b — \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right) \Rightarrow \log_{0{,}5} x = \log_{0{,}5} \left( \frac{12}{3} \right)$$

Шаг 3. Упростим дробь:

$$\frac{12}{3} = 4 \Rightarrow \log_{0{,}5} x = \log_{0{,}5} 4$$

Шаг 4. Заключаем:

$$x = 4$$

Ответ: $$$\boxed{x = 4}$

в)

Уравнение:

$$\log_5 13 + \log_5 x = \log_5 39$$

Шаг 1. Переносим $\log_5 13$ в правую часть:

$$\log_5 x = \log_5 39 — \log_5 13$$

Шаг 2. Применяем свойство:

$$\log_5 x = \log_5 \left( \frac{39}{13} \right)$$

Шаг 3. Считаем:

$$\frac{39}{13} = 3 \Rightarrow \log_5 x = \log_5 3$$

Шаг 4. Следовательно:

$$x = 3$$

Ответ: $$$\boxed{x = 3}$

г)

Уравнение:

$$\log_{\frac{1}{3}} 8 + \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 4$$

Шаг 1. Переносим $\log_{\frac{1}{3}} 8$ в правую часть:

$$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 4 — \log_{\frac{1}{3}} 8$$

Шаг 2. Применяем свойство:

$$\log_a b — \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right) \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{4}{8} \right)$$

Шаг 3. Сократим:

$$\frac{4}{8} = 0{,}5 \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 0{,}5$$

Шаг 4. Заключаем:

$$x = 0{,}5$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle }}$$\boxed{x = 0{,}5}$