ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.36 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\log_x 8 — \log_x 2 = 2$;

б) $\log_x 2 + \log_x 8 = 4$;

в) $\log_x 3 + \log_x 9 = 3$;

г) $\log_x \sqrt{5} + \log_x (25\sqrt{5}) = 3$

Решить уравнение:

а) $\log_x 8 — \log_x 2 = 2$;
$\log_x \frac{8}{2} = \log_x x^2$;
$4 = x^2$;
$x = 2$;
Ответ: 2.

б) $\log_x 2 + \log_x 8 = 4$;
$\log_x (2 \cdot 8) = \log_x x^4$;
$16 = x^4$;
$x = 2$;
Ответ: 2.

в) $\log_x 3 + \log_x 9 = 3$;
$\log_x (3 \cdot 9) = \log_x x^3$;
$27 = x^3$;
$x = 3$;
Ответ: 3.

г) $\log_x \sqrt{5} + \log_x (25\sqrt{5}) = 3$;
$\log_x (\sqrt{5} \cdot 25\sqrt{5}) = \log_x x^3$;
$125 = x^3$;
$x = 5$;
Ответ: 5.

а)

Уравнение:

$$\log_x 8 — \log_x 2 = 2$$

Шаг 1. Применим свойство разности логарифмов:

$$\log_x a — \log_x b = \log_x \left( \frac{a}{b} \right)$$ $$\log_x \left( \frac{8}{2} \right) = \log_x 4$$

Шаг 2. Перепишем правую часть:

$$\log_x 4 = 2$$

Шаг 3. Преобразуем логарифмическое уравнение в показательное:

$$\log_x 4 = 2 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 = 4$$

Шаг 4. Найдём $x$:

$$x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \quad (\text{так как } x > 0,\ x \ne 1 \ \text{в основании логарифма})$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle }}$$\boxed{x = 2}$

б)

Уравнение:

$$\log_x 2 + \log_x 8 = 4$$

Шаг 1. Применим свойство суммы логарифмов:

$$\log_x a + \log_x b = \log_x (a \cdot b) \Rightarrow \log_x (2 \cdot 8) = \log_x 16$$

Шаг 2. Перепишем правую часть:

$$\log_x 16 = 4$$

Шаг 3. Преобразуем в показательное уравнение:

$$x^4 = 16$$

Шаг 4. Найдём $x$:

$$x = \sqrt[4]{16} = 2$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle }}$$\boxed{x = 2}$

в)

Уравнение:

$$\log_x 3 + \log_x 9 = 3$$

Шаг 1. Применим свойство суммы логарифмов:

$$\log_x (3 \cdot 9) = \log_x 27$$

Шаг 2. Перепишем правую часть:

$$\log_x 27 = 3$$

Шаг 3. Преобразуем логарифм в показательную форму:

$$x^3 = 27$$

Шаг 4. Найдём $x$:

$$x = \sqrt[3]{27} = 3$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle }}$$\boxed{x = 3}$

г)

Уравнение:

$$\log_x \sqrt{5} + \log_x (25\sqrt{5}) = 3$$

Шаг 1. Применим свойство логарифма произведения:

$$\log_x (\sqrt{5} \cdot 25\sqrt{5}) = \log_x (25 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5})$$

Шаг 2. Упростим:

• $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$
• $25 \cdot 5 = 125$

Итак:

$$\log_x 125 = 3$$

Шаг 3. Преобразуем логарифм в показательную форму:

$$x^3 = 125$$

Шаг 4. Найдём $x$:

$$x = \sqrt[3]{125} = 5$$

Ответ: $$$\boxed{{\displaystyle x=5}}$