ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а)

$$\log_{\sqrt{3}} 6 — \log_{\sqrt{3}} 2\sqrt{3} = \log_{\sqrt{3}} \frac{6}{2\sqrt{3}} = \log_{\sqrt{3}} \sqrt{3} = 1$$

Ответ: 1

б)

$$\log_{\sqrt{2}} 7\sqrt{2} — \log_{\sqrt{2}} 14 = \log_{\sqrt{2}} \frac{7\sqrt{2}}{14} = \log_{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} = -1$$

Ответ: $-1$

в)

$$\log_{\frac{2}{3}} 32 — \log_{\frac{2}{3}} 243 = \log_{\frac{2}{3}} \frac{32}{243} = \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{2}{3}\right)^5 = 5$$

Ответ: 5

г)

$$\log_{0{,}1} 0{,}003 — \log_{0{,}1} 0{,}03 = \log_{0{,}1} \frac{0{,}003}{0{,}03} = \log_{0{,}1} 0{,}1 = 1$$

Ответ: 1

а)

Вычислить:

$$\log_{\sqrt{3}} 6 — \log_{\sqrt{3}} 2\sqrt{3}$$

Шаг 1: применим формулу разности логарифмов:

$$\log_a b — \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right)$$ $$\log_{\sqrt{3}} 6 — \log_{\sqrt{3}} 2\sqrt{3} = \log_{\sqrt{3}} \left( \frac{6}{2\sqrt{3}} \right)$$

Шаг 2: сократим дробь:

$$\frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$

Шаг 3: вычислим логарифм:

$$\log_{\sqrt{3}} \sqrt{3} = 1 \quad \text{(так как } \sqrt{3} = (\sqrt{3})^1)$$

Ответ:

$$\boxed{1}$$

б)

Вычислить:

$$\log_{\sqrt{2}} 7\sqrt{2} — \log_{\sqrt{2}} 14$$

Шаг 1: применим формулу:

$$\log_{\sqrt{2}} \left( \frac{7\sqrt{2}}{14} \right)$$

Шаг 2: упростим дробь:

$$\frac{7\sqrt{2}}{14} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Шаг 3: представим как степень:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} = (\sqrt{2})^{-1}$$

Шаг 4: применим логарифмическое свойство:

$$\log_{\sqrt{2}} (\sqrt{2})^{-1} = -1$$

Ответ:

$$\boxed{-1}$$

в)

Вычислить:

$$\log_{\frac{2}{3}} 32 — \log_{\frac{2}{3}} 243$$

Шаг 1: применим формулу:

$$\log_{\frac{2}{3}} \left( \frac{32}{243} \right)$$

Шаг 2: выразим числитель и знаменатель как степени:

$$32 = 2^5, \quad 243 = 3^5 \Rightarrow \frac{32}{243} = \left( \frac{2}{3} \right)^5$$

Шаг 3: подставим:

$$\log_{\frac{2}{3}} \left( \frac{2}{3} \right)^5 = 5$$

Ответ:

$$\boxed{5}$$

г)

Вычислить:

$$\log_{0{,}1} 0{,}003 — \log_{0{,}1} 0{,}03$$

Шаг 1: применим формулу:

$$\log_{0{,}1} \left( \frac{0{,}003}{0{,}03} \right)$$

Шаг 2: упростим дробь:

$$\frac{0{,}003}{0{,}03} = 0{,}1$$

Шаг 3: заметим, что:

$$0{,}1 = 10^{-1} \Rightarrow \log_{0{,}1} 0{,}1$$

А так как $0{,}1 = \frac{1}{10}$, значит:

$$\log_{0{,}1} \left( \frac{1}{10} \right) = 1 \quad \text{(ведь } \left(0{,}1\right)^1 = 0{,}1)$$

Ответ:

$$\boxed{1}$$

Итоги:

а) $\boxed{1}$
б) $\boxed{-1}$
в) $\boxed{5}$
г) $\boxed{1}$