ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.40 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сравнить числа:
а) $\log_3 4$ и $\sqrt[4]{2}$;
Первое число:
729 < 1024;
$\log_3 729 < \log_3 1024$;
$\log_3 3^6 < \log_3 4^5$;
6 < $5 \log_3 4$;
$\log_3 4 > 1{,}2$;
Второе число:
1250 < 1296;
$2 \cdot 5^4 < 6^4$;
$5 \sqrt[4]{2} < 6$;
$\sqrt[4]{2} < 1{,}2$;
Ответ: $\log_3 4 > \sqrt[4]{2}$.

б) $\log_2 3$ и $\sqrt[3]{7}$;
Первое число:
32 > 27;
$\log_2 32 > \log_2 27$;
$\log_2 2^5 > \log_2 3^3$;
5 > $3 \log_2 3$;
$\log_2 3 < \frac{5}{3}$;
Второе число:
189 > 125;
$7 \cdot 3^3 > 5^3$;
$3 \sqrt[3]{7} > 5$;
$\sqrt[3]{7} > \frac{5}{3}$;
Ответ: $\log_2 3 < \sqrt[3]{7}$.

а) Сравнить $\log_3 4$ и $\sqrt[4]{2}$

Шаг 1. Оценка $\log_3 4$

Мы не можем напрямую сравнить логарифм и корень, но можно попробовать оценить логарифм, домножив его на подходящее число, чтобы получить целое:

$$\log_3 4 = x \quad \Rightarrow \quad 3^x = 4$$

Попробуем оценить:

• $3^1 = 3$
• $3^{1.2} = 3^{6/5} \approx 3 \cdot 3^{0.2} \approx 3 \cdot 1.245 = 3.735$
• $3^{1.25} \approx 4.08$

Значит:

$$\log_3 4 \approx 1.26$$

Шаг 2. Точная оценка логарифма через сравнение

Подберём степени, чтобы использовать свойства логарифмов:

$$\log_3 3^6 = 6,\quad \log_3 4^5 = \log_3 1024$$

А так как:

$$3^6=729,$$

$$3^6 = 729,\quad 4^5 = 1024 \Rightarrow \log_3 729 < \log_3 1024 \Rightarrow 6 < 5 \log_3 4 \Rightarrow \log_3 4 > \frac{6}{5} = 1.2$$

Вывод:

$$\log_3 4 > 1.2$$

Шаг 3. Оценка $\sqrt[4]{2}$

Запишем:

$$\sqrt[4]{2} = 2^{1/4}$$

Попробуем оценить:

• $(1.18)^4 \approx 1.18^2 \cdot 1.18^2 = 1.3924 \cdot 1.3924 \approx 1.94$
• $(1.19)^4 \approx 2.00$

Значит:

$$\sqrt[4]{2} \approx 1.19$$

Шаг 4. Сравнение

$$\log_3 4 > 1.2,\quad \sqrt[4]{2} \approx 1.19 \Rightarrow \log_3 4 > \sqrt[4]{2}$$

Ответ: $\log_3 4 > \sqrt[4]{2}$

б) Сравнить $\log_2 3$ и $\sqrt[3]{7}$

Шаг 1. Оценка $\log_2 3$

Мы ищем число $x$, такое что:

$$2^x = 3 \Rightarrow \log_2 3 = x$$

Приблизительно:

• $2^1 = 2$
• $2^{1.5} = \sqrt{8} \approx 2.83$
• $2^{1.6} = 3.03$

Значит:

$$\log_2 3 \approx 1.58$$

Шаг 2. Сравнение через логарифмы

Используем:

$${\log }_{2}32=5,$$

$$\log_2 32 = 5,\quad \log_2 27 = \log_2 3^3 = 3 \log_2 3 \Rightarrow 5 > 3 \log_2 3 \Rightarrow \log_2 3 < \frac{5}{3} \approx 1.666…$$

То есть:

$$\log_2 3 < 1.666…$$

Шаг 3. Оценка $\sqrt[3]{7}$

Запишем:

$$\sqrt[3]{7} = 7^{1/3}$$

Приблизительно:

• $1.9^3 = 6.859$
• $1.91^3 \approx 6.96$
• $1.913^3 \approx 7$

Значит:

$$\sqrt[3]{7} \approx 1.913$$

Шаг 4. Сравнение

$$\log_2 3 \approx 1.58,\quad \sqrt[3]{7} \approx 1.91 \Rightarrow \log_2 3 < \sqrt[3]{7}$$

Ответ: $\log_2 3 < \sqrt[3]{7}$

Итоговые ответы:

а) $\log_3 4 > \sqrt[4]{2}$
б) $\log_2 3 < \sqrt[3]{7}$