ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а)

$$(3\lg 2-\lg 24):(\lg 3+\lg 27)=\frac{\lg 2^3-\lg 24}{\lg 3+\lg 27}=\frac{\lg \frac{8}{24}}{\lg (3\cdot 27)}=\frac{\lg \frac{1}{3}}{\lg 81}=\frac{\lg 3^{-1}}{\lg 3^4}=$$

$$(3\lg 2 — \lg 24) : (\lg 3 + \lg 27) = \dfrac{\lg 2^3 — \lg 24}{\lg 3 + \lg 27} = \dfrac{\lg \dfrac{8}{24}}{\lg (3 \cdot 27)} = \dfrac{\lg \dfrac{1}{3}}{\lg 81} = \dfrac{\lg 3^{-1}}{\lg 3^4} = \dfrac{-1 \cdot \lg 3}{4 \cdot \lg 3} = -\dfrac{1}{4} = -0{,}25;$$

Ответ: $-0{,}25$.

б)

$$({\log }_{3}2+3{\log }_3\mathrm{0,25}):({\log }_{3}28-{\log }_{3}7)=\frac{{\log }_{3}2+{\log }_3{\left(\frac{1}{4}\right)}^3}{{\log }_{3}28-{\log }_{3}7}=\frac{{\log }_3(2\cdot \frac{1}{64})}{{\log }_3\frac{28}{7}}=\frac{{\log }_3\frac{1}{32}}{{\log }_{3}4}=$$

$$(\log_3 2 + 3\log_3 0{,}25) : (\log_3 28 — \log_3 7) = \dfrac{\log_3 2 + \log_3 \left(\dfrac{1}{4}\right)^3}{\log_3 28 — \log_3 7} = \dfrac{\log_3 \left(2 \cdot \dfrac{1}{64}\right)}{\log_3 \dfrac{28}{7}} = \dfrac{\log_3 \dfrac{1}{32}}{\log_3 4} = \dfrac{\log_3 2^{-5}}{\log_3 2^2} = \dfrac{-5 \cdot \log_3 2}{2 \cdot \log_3 2} = -\dfrac{5}{2} = -2{,}5;$$

Ответ: $-2{,}5$.

а)

$$(3\lg 2 — \lg 24) : (\lg 3 + \lg 27)$$

Шаг 1. Раскроем $3 \lg 2$ как логарифм степени:

$$3 \lg 2 = \lg 2^3 = \lg 8$$

Шаг 2. Перепишем числитель:

$$3 \lg 2 — \lg 24 = \lg 8 — \lg 24$$

Шаг 3. Используем свойство разности логарифмов:

$$\lg 8 — \lg 24 = \lg \left( \dfrac{8}{24} \right)$$ $$\dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \lg \left( \dfrac{8}{24} \right) = \lg \left( \dfrac{1}{3} \right)$$

Шаг 4. Вычислим знаменатель:

$$\lg 3 + \lg 27$$

Шаг 5. Используем свойство суммы логарифмов:

$$\lg 3 + \lg 27 = \lg (3 \cdot 27) = \lg 81$$

Шаг 6. Переписываем выражение в виде дроби:

$$\dfrac{\lg \left( \dfrac{1}{3} \right)}{\lg 81}$$

Шаг 7. Раскроем логарифмы:

$$\lg \left( \dfrac{1}{3} \right) = \lg 3^{-1} = — \lg 3$$ $$\lg 81 = \lg 3^4 = 4 \lg 3$$

Шаг 8. Подставляем в выражение:

$$\dfrac{- \lg 3}{4 \lg 3}$$

Шаг 9. Сокращаем на $\lg 3$:

$$\dfrac{-1}{4} = -0{,}25$$

Ответ: $-0{,}25$

б)

$$(\log_3 2 + 3\log_3 0{,}25) : (\log_3 28 — \log_3 7)$$

Шаг 1. Преобразуем $3 \log_3 0{,}25$:

$$3 \log_3 0{,}25 = \log_3 (0{,}25)^3 = \log_3 \left( \dfrac{1}{4} \right)^3 = \log_3 \left( \dfrac{1}{64} \right)$$

Шаг 2. Складываем логарифмы:

$$\log_3 2 + \log_3 \left( \dfrac{1}{64} \right) = \log_3 \left( 2 \cdot \dfrac{1}{64} \right) = \log_3 \left( \dfrac{2}{64} \right) = \log_3 \left( \dfrac{1}{32} \right)$$

Шаг 3. Вычислим знаменатель:

$$\log_3 28 — \log_3 7 = \log_3 \left( \dfrac{28}{7} \right) = \log_3 4$$

Шаг 4. Переписываем всё выражение:

$$\dfrac{\log_3 \left( \dfrac{1}{32} \right)}{\log_3 4}$$

Шаг 5. Преобразуем логарифмы в числителе и знаменателе:

$$\log_3 \left( \dfrac{1}{32} \right) = \log_3 2^{-5} = -5 \log_3 2$$ $$\log_3 4 = \log_3 2^2 = 2 \log_3 2$$

Шаг 6. Подставляем в дробь:

$$\dfrac{-5 \log_3 2}{2 \log_3 2}$$

Шаг 7. Сокращаем на $\log_3 2$:

$$\dfrac{-5}{2} = -2{,}5$$

Ответ: $-\mathrm{2,5}$