ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\log_2 4 \cdot \log_3 27$

б) $\log_5 125 : \log_4 16$

в) $\log_{0{,}5} 0{,}25 \cdot \log_{0{,}3} 0{,}09$

г) $\lg 1000:\lg 100$

Вычислить значение:

а)

$$\log_2 4 \cdot \log_3 27 = \log_2 2^2 \cdot \log_3 3^3 = 2 \cdot 3 = 6;$$

Ответ: 6.

б)

$$\log_5 125 : \log_4 16 = \dfrac{\log_5 5^3}{\log_4 4^2} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5;$$

Ответ: 1,5.

в)

$$\log_{0{,}5} 0{,}25 \cdot \log_{0{,}3} 0{,}09 = \log_{0{,}5} 0{,}5^2 \cdot \log_{0{,}3} 0{,}3^2 = 2 \cdot 2 = 4;$$

Ответ: 4.

г)

$$\lg 1000 : \lg 100 = \dfrac{\lg 10^3}{\lg 10^2} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5;$$

Ответ: 1,5.

а) $\log_2 4 \cdot \log_3 27$

Шаг 1. Представим числа 4 и 27 как степени оснований логарифмов:
$4 = 2^2$, $27 = 3^3$

Шаг 2. Применим формулу логарифма степени:
$\log_b a^n = n \cdot \log_b a$

$\log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2 \cdot \log_2 2 = 2 \cdot 1 = 2$
$\log_3 27 = \log_3 (3^3) = 3 \cdot \log_3 3 = 3 \cdot 1 = 3$

Шаг 3. Перемножим:
$2 \cdot 3 = 6$

Ответ: $6$

б) $\log_5 125 : \log_4 16$

Шаг 1. Представим числа 125 и 16 как степени оснований:
$125 = 5^3$, $16 = 4^2$

Шаг 2. Применим формулу логарифма степени:
$\log_5 125 = \log_5 (5^3) = 3 \cdot \log_5 5 = 3 \cdot 1 = 3$
$\log_4 16 = \log_4 (4^2) = 2 \cdot \log_4 4 = 2 \cdot 1 = 2$

Шаг 3. Разделим:
$\dfrac{3}{2} = 1{,}5$

Ответ: $1{,}5$

в) $\log_{0{,}5} 0{,}25 \cdot \log_{0{,}3} 0{,}09$

Шаг 1. Представим числа 0,25 и 0,09 как степени оснований:
$0{,}25 = (0{,}5)^2$, $0{,}09 = (0{,}3)^2$

Шаг 2. Применим формулу логарифма степени:
$\log_{0{,}5} (0{,}5)^2 = 2 \cdot \log_{0{,}5} 0{,}5 = 2 \cdot 1 = 2$
$\log_{0{,}3} (0{,}3)^2 = 2 \cdot \log_{0{,}3} 0{,}3 = 2 \cdot 1 = 2$

Шаг 3. Перемножим:
$2 \cdot 2 = 4$

Ответ: $4$

г) $\lg 1000 : \lg 100$

Шаг 1. Представим числа 1000 и 100 как степени десяти:
$1000 = 10^3$, $100 = 10^2$

Шаг 2. Применим формулу логарифма степени:
$\lg 1000 = \lg (10^3) = 3 \cdot \lg 10 = 3 \cdot 1 = 3$
$\lg 100 = \lg (10^2) = 2 \cdot \lg 10 = 2 \cdot 1 = 2$

Шаг 3. Разделим:
$\dfrac{3}{2} = 1{,}5$

Ответ: $1{,}5$