ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а)

$${\log }_2(3x-6)={\log }_2(2x-3)$$

$$\log_2(3x — 6) = \log_2(2x — 3)$$ $$3x-6=2x-3$$

$$3x — 6 = 2x — 3$$ $$x = 3$$

Выражение имеет смысл при:

$$3x — 6 > 0 \Rightarrow 3x > 6 \Rightarrow x > 2$$

Ответ: $x = 3$

б)

$${\log }_6(14-4x)={\log }_6(2x+2)$$

$$\log_6(14 — 4x) = \log_6(2x + 2)$$ $$14-4x=2x+2$$

$$14 — 4x = 2x + 2$$ $$6x = 12 \Rightarrow x = 2$$

Выражение имеет смысл при:

$$2x + 2 > 0 \Rightarrow 2x > -2 \Rightarrow x > -1$$

Ответ: $x = 2$

в)

$${\log }_{1\mathrm{/}6}(7x-9)={\log }_{1\mathrm{/}6}(x)$$

$$\log_{1/6}(7x — 9) = \log_{1/6}(x)$$ $$7x — 9 = x \Rightarrow 6x = 9 \Rightarrow x = 1{,}5$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0$$

Ответ: $x = 1{,}5$

г)

$${\log }_{\mathrm{0,2}}(12x+8)={\log }_{\mathrm{0,2}}(11x+7)$$

$$\log_{0{,}2}(12x + 8) = \log_{0{,}2}(11x + 7)$$ $$12x + 8 = 11x + 7 \Rightarrow x = -1$$

Выражение имеет смысл при:

$$12x + 8 > 0 \Rightarrow 12x > -8 \Rightarrow x > -\frac{2}{3}$$

Так как $x = -1$ не удовлетворяет области допустимых значений:

Ответ: корней нет.

Решить уравнение:

а)

$$\log_2(3x — 6) = \log_2(2x — 3)$$

Логарифмы с одинаковым основанием можно приравнять, если выражения под логарифмами положительные. Сначала приравниваем аргументы:

$$3x — 6 = 2x — 3$$

Вычитаем $2x$ из обеих частей:

$$3x — 2x — 6 = -3$$ $$x — 6 = -3$$

Прибавляем 6 к обеим частям:

$$x = -3 + 6$$ $$x = 3$$

Проверим область допустимых значений (ОДЗ) — логарифм определён только при положительном аргументе:

$3x — 6 > 0$

$$3x > 6 \Rightarrow x > 2$$

$2x — 3 > 0$

$$2x > 3 \Rightarrow x > \frac{3}{2}$$

Общая область допустимых значений:

$$x > 2$$

Найденный корень $x = 3$ удовлетворяет условию $x > 2$.
Следовательно, это допустимый корень.

Ответ: $x = 3$

б)

$$\log_6(14 — 4x) = \log_6(2x + 2)$$

Основания логарифмов одинаковы, приравниваем аргументы:

$$14 — 4x = 2x + 2$$

Переносим все члены в одну сторону, сначала вычитаем $2x$ из обеих частей:

$$14 — 4x — 2x = 2$$ $$14 — 6x = 2$$

Вычитаем 14:

$$-6x = 2 — 14$$ $$-6x = -12$$

Делим обе части на $-6$:

$$x = \frac{-12}{-6} = 2$$

ОДЗ:

$14 — 4x > 0$

$$-4x > -14 \Rightarrow x < \frac{14}{4} = 3.5$$

$2x + 2 > 0$

$$2x > -2 \Rightarrow x > -1$$

Общая область допустимых значений:

$$-1 < x < 3.5$$

Найденный корень $x = 2$ входит в ОДЗ.

Ответ: $x = 2$

в)

$$\log_{1/6}(7x — 9) = \log_{1/6}(x)$$

Основания логарифмов одинаковы, приравниваем аргументы:

$$7x — 9 = x$$

Вычитаем $x$ из обеих частей:

$$7x — x — 9 = 0$$ $$6x — 9 = 0$$

Прибавим 9 к обеим частям:

$$6x = 9$$

Разделим на 6:

$$x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$$

ОДЗ:

$7x — 9 > 0$

$$7x > 9 \Rightarrow x > \frac{9}{7} \approx 1.29$$

$x > 0$

Общая область допустимых значений:

$$x > \frac{9}{7}$$

Проверим $x = 1.5$:

$$1.5 > \frac{9}{7} \approx 1.29 \Rightarrow \text{выполняется}$$

Ответ: $x = 1{,}5$

г)

$$\log_{0{,}2}(12x + 8) = \log_{0{,}2}(11x + 7)$$

Основания одинаковые, приравниваем аргументы:

$$12x + 8 = 11x + 7$$

Вычитаем $11x$:

$$x + 8 = 7$$

Вычитаем 8:

$$x = 7 — 8 = -1$$

ОДЗ:

$12x + 8 > 0$

$$12x > -8 \Rightarrow x > -\frac{2}{3}$$

$11x + 7 > 0$

$$11x > -7 \Rightarrow x > -\frac{7}{11}$$

Общая область допустимых значений:

$$x > -\frac{2}{3}$$

Найденный корень:

$$x = -1$$

Проверим:

$$-1 < -\frac{2}{3} \Rightarrow \text{не входит в ОДЗ}$$

Следовательно, найденный корень не удовлетворяет области допустимых значений.

Ответ: корней нет.