ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\log_3(x — 2) + \log_3(x + 2) = \log_3(2x — 1)$;

б) $\log_{11}(x + 4) + \log_{11}(x — 7) = \log_{11}(7 — x)$;

в) $\log_{0{,}6}(x + 3) + \log_{0{,}6}(x — 3) = \log_{0{,}6}(2x — 1)$;

г) $\log_{0{,}4}(x + 2) + \log_{0{,}4}(x + 3) = \log_{0{,}4}(1 — x)$

Решить уравнение:

а) $\log_3(x — 2) + \log_3(x + 2) = \log_3(2x — 1)$;
$\log_3((x — 2)(x + 2)) = \log_3(2x — 1)$;
$x^2 — 4 = 2x — 1$;
$x^2 — 2x — 3 = 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:
$x_1 = \dfrac{2 — 4}{2} = -1$ и $x_2 = \dfrac{2 + 4}{2} = 3$;

Выражение имеет смысл при:
$x — 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 2$;
$x + 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -2$;

Ответ: 3

б) $\log_{11}(x + 4) + \log_{11}(x — 7) = \log_{11}(7 — x)$;
$\log_{11}((x + 4)(x — 7)) = \log_{11}(7 — x)$;
$x^2 + 4x — 7x — 28 = 7 — x$;
$x^2 — 2x — 35 = 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 35 = 4 + 140 = 144$, тогда:
$x_1 = \dfrac{2 — 12}{2} = -5$ и $x_2 = \dfrac{2 + 12}{2} = 7$;

Выражение имеет смысл при:
$x + 4 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -4$;
$x — 7 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 7$;

Ответ: корней нет

в) $\log_{0{,}6}(x + 3) + \log_{0{,}6}(x — 3) = \log_{0{,}6}(2x — 1)$;
$\log_{0{,}6}((x + 3)(x — 3)) = \log_{0{,}6}(2x — 1)$;
$x^2 — 9 = 2x — 1$;
$x^2 — 2x — 8 = 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36$, тогда:
$x_1 = \dfrac{2 — 6}{2} = -2$ и $x_2 = \dfrac{2 + 6}{2} = 4$;

Выражение имеет смысл при:
$x + 3 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -3$;
$x — 3 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 3$;

Ответ: 4

г) $\log_{0{,}4}(x + 2) + \log_{0{,}4}(x + 3) = \log_{0{,}4}(1 — x)$;
$\log_{0{,}4}((x + 2)(x + 3)) = \log_{0{,}4}(1 — x)$;
$x^2 + 2x + 3x + 6 = 1 — x$;
$x^2 + 6x + 5 = 0$;
$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$, тогда:
$x_1 = \dfrac{-6 — 4}{2} = -5$ и $x_2 = \dfrac{-6 + 4}{2} = -1$;

Выражение имеет смысл при:
$x + 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -2$;
$x + 3 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -3$;

Ответ: -1

а) $\log_3(x — 2) + \log_3(x + 2) = \log_3(2x — 1)$

Шаг 1. Используем свойство суммы логарифмов:

$$\log_3(x — 2) + \log_3(x + 2) = \log_3((x — 2)(x + 2))$$

Шаг 2. Преобразуем левую часть:

$$\log_3((x — 2)(x + 2)) = \log_3(2x — 1)$$

Шаг 3. Раскроем скобки:

$$(x — 2)(x + 2) = x^2 — 4$$

Шаг 4. Приравниваем аргументы логарифмов:

$$x^2 — 4 = 2x — 1$$

Шаг 5. Переносим все в одну сторону:

$$x^2 — 2x — 3 = 0$$

Шаг 6. Найдём дискриминант:

$$D = (-2)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$$

Шаг 7. Найдём корни:

$$x_1 = \frac{2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{2 — 4}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

Шаг 8. Найдём область допустимых значений (ОДЗ):

• $x — 2 > 0 \Rightarrow x > 2$
• $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$
• $2x — 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}$
  Совокупность всех условий:

$$x > 2$$

Шаг 9. Проверим корни на соответствие ОДЗ:

• $x = -1$: не подходит
• $x = 3$: подходит

Ответ: 3

б) $\log_{11}(x + 4) + \log_{11}(x — 7) = \log_{11}(7 — x)$

Шаг 1. Применим свойство:

$$\log_{11}((x + 4)(x — 7)) = \log_{11}(7 — x)$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$(x + 4)(x — 7) = x^2 — 3x — 28$$

Промежуточные вычисления:

$$x^2 + 4x — 7x — 28 = x^2 — 3x — 28$$

Шаг 3. Приравниваем аргументы:

$$x^2 — 3x — 28 = 7 — x \Rightarrow x^2 — 2x — 35 = 0$$

Шаг 4. Найдём дискриминант:

$$D = (-2)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 35 = 4 + 140 = 144$$

Шаг 5. Найдём корни:

$$x_1 = \frac{2 — \sqrt{144}}{2} = \frac{2 — 12}{2} = -5$$ $$x_2 = \frac{2 + \sqrt{144}}{2} = \frac{2 + 12}{2} = 7$$

Шаг 6. ОДЗ:

• $x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4$
• $x — 7 > 0 \Rightarrow x > 7$
• $7 — x > 0 \Rightarrow x < 7$

Совместим условия:

• $x > 7$ и $x < 7$ — нет общих решений

Шаг 7. Ни один корень не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: корней нет

в) $\log_{0{,}6}(x + 3) + \log_{0{,}6}(x — 3) = \log_{0{,}6}(2x — 1)$

Шаг 1. Сумма логарифмов:

$$\log_{0{,}6}((x + 3)(x — 3)) = \log_{0{,}6}(2x — 1)$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$(x + 3)(x — 3) = x^2 — 9$$

Шаг 3. Приравниваем аргументы:

$$x^2 — 9 = 2x — 1 \Rightarrow x^2 — 2x — 8 = 0$$

Шаг 4. Найдём дискриминант:

$$D = (-2)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 + 32 = 36$$

Шаг 5. Найдём корни:

$$x_1 = \frac{2 — \sqrt{36}}{2} = \frac{2 — 6}{2} = -2$$ $$x_2 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$$

Шаг 6. ОДЗ:

• $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$
• $x — 3 > 0 \Rightarrow x > 3$
• $2x — 1 > 0 \Rightarrow x > 0{,}5$

Совокупность:

$$x > 3$$

Шаг 7. Проверим корни:

• $x = -2$: не подходит
• $x = 4$: подходит

Ответ: 4

г) $\log_{0{,}4}(x + 2) + \log_{0{,}4}(x + 3) = \log_{0{,}4}(1 — x)$

Шаг 1. Сумма логарифмов:

$$\log_{0{,}4}((x + 2)(x + 3)) = \log_{0{,}4}(1 — x)$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$(x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6$$

Шаг 3. Приравниваем аргументы:

$$x^2 + 5x + 6 = 1 — x \Rightarrow x^2 + 6x + 5 = 0$$

Шаг 4. Найдём дискриминант:

$$D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$$

Шаг 5. Найдём корни:

$$x_1 = \frac{-6 — \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 — 4}{2} = -5$$ $$x_2 = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 + 4}{2} = -1$$

Шаг 6. ОДЗ:

• $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$
• $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$
• $1 — x > 0 \Rightarrow x < 1$

Совокупность:

$$-2 < x < 1$$

Шаг 7. Проверим корни:

• $x = -5$: не удовлетворяет
• $x = -1$: удовлетворяет

Ответ: -1