ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а)

$$\lg 100x \cdot \lg x = -1;$$ $$(2 + \lg x) \cdot \lg x = -1;$$

Пусть $y = \lg x$, тогда:

$$(2 + y) \cdot y = -1;$$ $$2y + y^2 = -1;$$ $$y^2 + 2y + 1 = 0;$$ $$(y + 1)^2 = 0;$$ $$y + 1 = 0 \Rightarrow y = -1;$$

Вернем замену:

$$\lg x = -1;$$ $$x = 10^{-1} = 0{,}1;$$

Ответ: 0,1

б)

$$\lg^2 10x + \lg 10x = 6 — 3 \lg\left(\frac{1}{x}\right);$$ $$(1 + \lg x)^2 + (1 + \lg x) = 6 — 3 \cdot (-\lg x);$$

Пусть $y = \lg x$, тогда:

$$(1 + y)^2 + (1 + y) = 6 + 3y;$$ $$1 + 2y + y^2 + 1 + y = 6 + 3y;$$ $$y^2 + 4y + 2 = 6 + 3y;$$ $$y^2 + 4y + 2 — 6 — 3y = 0;$$ $$y^2 + y — 4 = 0;$$ $$y = \pm 2;$$

Первое значение:

$$\lg x = -2 \Rightarrow x = 10^{-2} = 0{,}01;$$

Второе значение:

$$\lg x = 2 \Rightarrow x = 10^2 = 100;$$

Ответ: 0,01; 100

а) Дано уравнение:

$$\lg(100x) \cdot \lg x = -1$$

Шаг 1. Раскроем логарифм произведения:

$$\lg(100x) = \lg 100 + \lg x = 2 + \lg x$$

Шаг 2. Подставим в уравнение:

$$(2 + \lg x) \cdot \lg x = -1$$

Шаг 3. Введём замену:
Пусть $y = \lg x$. Тогда уравнение примет вид:

$$(2 + y) \cdot y = -1$$

Шаг 4. Раскроем скобки:

$$2y + y^2 = -1$$

Шаг 5. Приведём к стандартному виду квадратного уравнения:

$$y^2 + 2y + 1 = 0$$

Шаг 6. Распознаём полный квадрат:

$$(y + 1)^2 = 0$$

Шаг 7. Найдём корень:

$$y = -1$$

Шаг 8. Вернёмся к переменной $x$:

$$\lg x = -1 \Rightarrow x = 10^{-1} = 0{,}1$$

Шаг 9. Проверим область допустимых значений:
Поскольку логарифмы определены только при $x > 0$, то $x = 0{,}1 > 0$ — подходит.

Шаг 10. Записываем ответ:
Ответ: 0,1

б) Дано уравнение:

$$\lg^2(10x) + \lg(10x) = 6 — 3 \lg\left(\frac{1}{x}\right)$$

Шаг 1. Раскроем логарифмы:

$$\lg(10x) = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x$$ $$\lg\left(\frac{1}{x}\right) = \lg 1 — \lg x = 0 — \lg x = -\lg x$$

Шаг 2. Подставим в уравнение:

$$(1 + \lg x)^2 + (1 + \lg x) = 6 — 3(-\lg x)$$

Шаг 3. Упростим правую часть:

$$6 + 3\lg x$$

Шаг 4. Введём замену:
Пусть $y = \lg x$. Тогда:

$$(1 + y)^2 + (1 + y) = 6 + 3y$$

Шаг 5. Раскроем скобки в левой части:

$$1 + 2y + y^2 + 1 + y = y^2 + 3y + 2$$

Шаг 6. Перепишем уравнение:

$$y^2 + 3y + 2 = 6 + 3y$$

Шаг 7. Упростим:
Вычтем $6 + 3y$ из обеих частей:

$$y^2 + 3y + 2 — 6 — 3y = 0 \Rightarrow y^2 — 4 = 0$$

Шаг 8. Решим квадратное уравнение:

$$y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2$$

Шаг 9. Вернёмся к переменной $x$:
Если $y = -2$, то

$$\lg x = -2 \Rightarrow x = 10^{-2} = 0{,}01$$

Если $y = 2$, то

$$\lg x = 2 \Rightarrow x = 10^2 = 100$$

Шаг 10. Проверим область допустимых значений:
Условие $\lg x$ требует $x > 0$. Оба значения удовлетворяют: $0{,}01 > 0$, $100 > 0$

Ответ: 0,01; 100