ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а)

$$\log_5(6 − 5^x) = 1 − x;$$ $$\log_5(6 − 5^x) = \log_5 5^{1−x};$$ $$6 − 5^x = 5^{1−x};$$ $$6 − 5^x = \frac{5}{5^x} \quad | \cdot 5^x;$$ $$6 \cdot 5^x − 5^{2x} = 5;$$ $$5^{2x} − 6 \cdot 5^x + 5 = 0;$$

Пусть $y = 5^x$, тогда:

$$y^2 − 6y + 5 = 0;$$ $$D = 6^2 − 4 \cdot 5 = 36 − 20 = 16, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{6 − 4}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;$$

Первое значение:

$$5^x = 1 \Rightarrow x = 0;$$

Второе значение:

$$5^x = 5 \Rightarrow x = 1;$$

Ответ: 0; 1

б)

$$\log_3(4 \cdot 3^{x−1} − 1) = 2x − 1;$$ $$\log_3(4 \cdot 3^{x−1} − 1) = \log_3 3^{2x−1};$$ $$4 \cdot 3^{x−1} − 1 = 3^{2x−1};$$ $$\frac{4}{3} \cdot 3^x − 1 = \frac{3^{2x}}{3} \quad | \cdot 3;$$ $$4 \cdot 3^x − 3 = 3^{2x};$$ $$3^{2x} − 4 \cdot 3^x + 3 = 0;$$

Пусть $y = 3^x$, тогда:

$$y^2 − 4y + 3 = 0;$$ $$D = 4^2 − 4 \cdot 3 = 16 − 12 = 4, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{4 − 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;$$

Первое значение:

$$3^x = 1 \Rightarrow x = 0;$$

Второе значение:

$$3^x = 3 \Rightarrow x = 1;$$

Ответ: 0; 1

а)

Уравнение:

$$\log_5(6 — 5^x) = 1 — x$$

Шаг 1. Преобразуем правую часть:
Представим $1 — x$ как логарифм по основанию 5:

$$1 — x = \log_5(5^{1 — x})$$

Шаг 2. Приравняем логарифмы:

$$\log_5(6 — 5^x) = \log_5(5^{1 — x})$$

Шаг 3. Уберем логарифмы (если логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны и их аргументы):

$$6 — 5^x = 5^{1 — x}$$

Шаг 4. Преобразуем правую часть:

$$5^{1 — x} = \frac{5}{5^x}$$

Шаг 5. Подставим:

$$6 — 5^x = \frac{5}{5^x}$$

Шаг 6. Умножим обе части на $5^x$ (допустимо, так как $5^x > 0$):

$$(6 — 5^x) \cdot 5^x = 5$$ $$6 \cdot 5^x — (5^x)^2 = 5$$

Шаг 7. Обозначим $y = 5^x$:

$$6y — y^2 = 5 \Rightarrow -y^2 + 6y — 5 = 0 \Rightarrow y^2 — 6y + 5 = 0$$

Шаг 8. Найдём дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$$

Шаг 9. Решим квадратное уравнение:

$$y_1 = \frac{6 — \sqrt{16}}{2} = \frac{6 — 4}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5$$

Шаг 10. Вернёмся к переменной $x$:

$$5^x = 1 \Rightarrow x = 0$$ $$5^x = 5 \Rightarrow x = 1$$

Проверка области допустимых значений:
В логарифме $\log_5(6 — 5^x)$, подлогарифмическое выражение должно быть больше 0:

• при $x = 0$: $6 — 5^0 = 5 > 0$
• при $x = 1$: $6 — 5^1 = 1 > 0$
  Оба значения подходят.

Ответ: 0; 1

б)

Уравнение:

$$\log_3(4 \cdot 3^{x — 1} — 1) = 2x — 1$$

Шаг 1. Представим правую часть в виде логарифма:

$$2x — 1 = \log_3(3^{2x — 1})$$

Шаг 2. Приравниваем логарифмы:

$$\log_3(4 \cdot 3^{x — 1} — 1) = \log_3(3^{2x — 1})$$

Шаг 3. Убираем логарифмы:

$$4 \cdot 3^{x — 1} — 1 = 3^{2x — 1}$$

Шаг 4. Переведем всё к одной степени:
Вспомним:

$$3^{x — 1} = \frac{3^x}{3}, \quad 3^{2x — 1} = \frac{3^{2x}}{3}$$

Значит, уравнение перепишется как:

$$4 \cdot \frac{3^x}{3} — 1 = \frac{3^{2x}}{3} \Rightarrow \frac{4 \cdot 3^x — 3}{3} = \frac{3^{2x}}{3}$$

Шаг 5. Умножим обе части уравнения на 3:

$$4 \cdot 3^x — 3 = 3^{2x}$$

Шаг 6. Переносим всё в одну часть уравнения:

$$3^{2x} — 4 \cdot 3^x + 3 = 0$$

Шаг 7. Сделаем замену:
Пусть $y = 3^x$, тогда:

$$y^2 — 4y + 3 = 0$$

Шаг 8. Найдём дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$

Шаг 9. Решаем квадратное уравнение:

$$y_1 = \frac{4 — \sqrt{4}}{2} = \frac{4 — 2}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

Шаг 10. Вернёмся к переменной $x$:

$$3^x = 1 \Rightarrow x = 0$$ $$3^x = 3 \Rightarrow x = 1$$

Проверка области допустимости:
Аргумент логарифма: $4 \cdot 3^{x — 1} — 1$ должен быть > 0

• при $x = 0$: $4 \cdot 3^{-1} — 1 = \frac{4}{3} — 1 = \frac{1}{3} > 0$
• при $x = 1$: $4 \cdot 3^{0} — 1 = 4 — 1 = 3 > 0$

Оба корня допустимы.

Ответ: 0; 1