ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а)

$${\log }_3(x^2+6)={\log }_{3}5x$$

$$\log_3(x^2 + 6) = \log_3 5x$$ $$x^2+6=5x$$

$$x^2 + 6 = 5x$$ $$x^2-5x+6=0$$

$$x^2 — 5x + 6 = 0$$ $$D=5^2-4\cdot 6=25-24=1,\text{ тогда:}$$

$$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1,\ \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2,\quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Выражение имеет смысл при:

$$5x > 0 \Rightarrow x > 0$$

Ответ: 2; 3

б)

$${\log }_{\frac{1}{2}}(7x^2-200)={\log }_{\frac{1}{2}}50x$$

$$\log_{\frac{1}{2}}(7x^2 — 200) = \log_{\frac{1}{2}} 50x$$ $$7x^2-200=50x$$

$$7x^2 — 200 = 50x$$ $$7x^2-50x-200=0$$

$$7x^2 — 50x — 200 = 0$$ $$D={50}^2+4\cdot 7\cdot 200=2500+5600=8100,\text{ тогда:}$$

$$D = 50^2 + 4 \cdot 7 \cdot 200 = 2500 + 5600 = 8100,\ \text{тогда:}$$ $$x_1=\frac{50-90}{2\cdot 7}=-\frac{40}{14}=-\frac{20}{7}=-2\frac{6}{7}$$

$$x_1 = \frac{50 — 90}{2 \cdot 7} = -\frac{40}{14} = -\frac{20}{7} = -2\frac{6}{7}$$ $$x_2 = \frac{50 + 90}{2 \cdot 7} = \frac{140}{14} = 10$$

Выражение имеет смысл при:

$$50x > 0 \Rightarrow x > 0$$

Ответ: 10

в)

$$\lg (x^2-6)=\lg (8+5x)$$

$$\lg(x^2 — 6) = \lg(8 + 5x)$$ $$x^2-6=8+5x$$

$$x^2 — 6 = 8 + 5x$$ $$x^2-5x-14=0$$

$$x^2 — 5x — 14 = 0$$ $$D=5^2+4\cdot 14=25+56=81,\text{ тогда:}$$

$$D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81,\ \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{5 — 9}{2} = -2,\quad x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7$$

Выражение имеет смысл при:

$$8 + 5x > 0 \Rightarrow 5x > -8 \Rightarrow x > -1{,}6$$

Ответ: 7

г)

$$\lg (x^2-8)=\lg (2-9x)$$

$$\lg(x^2 — 8) = \lg(2 — 9x)$$ $$x^2-8=2-9x$$

$$x^2 — 8 = 2 — 9x$$ $$x^2+9x-10=0$$

$$x^2 + 9x — 10 = 0$$ $$D=9^2+4\cdot 10=81+40=121,\text{ тогда:}$$

$$D = 9^2 + 4 \cdot 10 = 81 + 40 = 121,\ \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-9 — 11}{2} = -10,\quad x_2 = \frac{-9 + 11}{2} = 1$$

Выражение имеет смысл при:

$$2 — 9x \geq 0 \Rightarrow 9x \leq 2 \Rightarrow x \leq \frac{2}{9}$$

Ответ: -10

а)

$$\log_3(x^2 + 6) = \log_3(5x)$$

Шаг 1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Для логарифма:

• Основание $3 > 0$, $3 \ne 1$ — подходит.
• Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$$x^2 + 6 > 0\quad \text{(всегда, так как } x^2 \geq 0 \text{ и } x^2 + 6 \geq 6)$$ $$5x > 0 \Rightarrow x > 0$$

ОДЗ: $x > 0$

Шаг 2. Равенство логарифмов

Если $\log_a A = \log_a B$, то $A = B$, при $a > 0$, $a \ne 1$, $A > 0$, $B > 0$. Здесь все условия соблюдены.
Приравниваем аргументы:

$$x^2 + 6 = 5x$$

Переносим всё в одну сторону:

$$x^2 — 5x + 6 = 0$$

Шаг 3. Решим квадратное уравнение

$$x^2 — 5x + 6 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Корни:

$$x_1 = \frac{5 — \sqrt{1}}{2} = \frac{5 — 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Шаг 4. Проверка корней на ОДЗ

ОДЗ: $x > 0$

Оба корня $x = 2$ и $x = 3$ удовлетворяют.

Ответ: $x = 2;\ x = 3$

б)

$$\log_{\frac{1}{2}}(7x^2 — 200) = \log_{\frac{1}{2}}(50x)$$

Шаг 1. ОДЗ

• Основание $\frac{1}{2} \in (0;1)$ — допустимо (не 1, положительно).
• Аргументы положительны:

$$7x^2-200>0\Rightarrow x^2>\frac{200}{7}\Rightarrow \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>\sqrt{\frac{200}{7}}\approx 5.35\Rightarrow$$

$$x<-\sqrt{\frac{200}{7}}\text{или}x>\sqrt{\frac{200}{7}}$$

$$7x^2 — 200 > 0 \Rightarrow x^2 > \frac{200}{7} \Rightarrow |x| > \sqrt{\frac{200}{7}} \approx 5.35 \Rightarrow x < -\sqrt{\frac{200}{7}} \quad \text{или} \quad x > \sqrt{\frac{200}{7}}$$ $$50x > 0 \Rightarrow x > 0$$

Итоговая ОДЗ:

$$x > \sqrt{\frac{200}{7}} \approx 5.35$$

Шаг 2. Приравниваем аргументы

$$7x^2 — 200 = 50x$$

Переносим всё в одну сторону:

$$7x^2 — 50x — 200 = 0$$

Шаг 3. Решим квадратное уравнение

$$D = (-50)^2 — 4 \cdot 7 \cdot (-200) = 2500 + 5600 = 8100$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{8100} = 90$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{50 — 90}{2 \cdot 7} = \frac{-40}{14} = -\frac{20}{7} \approx -2.86$$ $$x_2 = \frac{50 + 90}{2 \cdot 7} = \frac{140}{14} = 10$$

Шаг 4. Проверка по ОДЗ

ОДЗ: $x > \sqrt{\frac{200}{7}} \approx 5.35$

• $x_1 = -\frac{20}{7} < 0$ — не подходит.
• $x_2 = 10 > 5.35$ — подходит.

Ответ: $x = 10$

в)

$$\lg(x^2 — 6) = \lg(8 + 5x)$$

Шаг 1. ОДЗ

Логарифм десятичный ($\lg$) определён при положительном аргументе.

$$x^2 — 6 > 0 \Rightarrow x^2 > 6 \Rightarrow |x| > \sqrt{6} \approx 2.45 \Rightarrow x < -\sqrt{6} \quad \text{или} \quad x > \sqrt{6}$$ $$8 + 5x > 0 \Rightarrow 5x > -8 \Rightarrow x > -\frac{8}{5} = -1.6$$

Совместная ОДЗ:

$$x < -\sqrt{6} \quad \text{или} \quad x > \sqrt{6} \approx \pm2.45$$

Шаг 2. Приравниваем аргументы:

$$x^2 — 6 = 8 + 5x \Rightarrow x^2 — 5x — 14 = 0$$

Шаг 3. Решим квадратное уравнение:

$$D = (-5)^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81 \Rightarrow \sqrt{D} = 9$$

Корни:

$$x_1 = \frac{5 — 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ $$x_2 = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

Шаг 4. Проверка по ОДЗ:

ОДЗ: $x < -\sqrt{6} \approx -2.45$ или $x > \sqrt{6} \approx 2.45$

• $x = -2$ — не входит, так как $-2 > -2.45$
• $x = 7$ — входит

Ответ: $x = 7$

г)

$$\lg(x^2 — 8) = \lg(2 — 9x)$$

Шаг 1. ОДЗ

Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$$x^2 — 8 > 0 \Rightarrow x^2 > 8 \Rightarrow |x| > \sqrt{8} \approx 2.83 \Rightarrow x < -\sqrt{8} \quad \text{или} \quad x > \sqrt{8}$$ $$2 — 9x > 0 \Rightarrow -9x > -2 \Rightarrow x < \frac{2}{9} \approx 0.22$$

Совместная ОДЗ:

• $x < -\sqrt{8} \approx -2.83$
• Пересекаем с $x < \frac{2}{9}$, значит остаётся только:

$$x < -\sqrt{8} \approx -2.83$$

Шаг 2. Приравниваем аргументы:

$$x^2 — 8 = 2 — 9x \Rightarrow x^2 + 9x — 10 = 0$$

Шаг 3. Решим квадратное уравнение:

$$D = 9^2 + 4 \cdot 10 = 81 + 40 = 121 \Rightarrow \sqrt{D} = 11$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-9 — 11}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$ $$x_2 = \frac{-9 + 11}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Шаг 4. Проверка по ОДЗ:

ОДЗ: $x < -\sqrt{8} \approx -2.83$

• $x = -10$ — входит
• $x = 1$ — не входит

Ответ: $x = -10$