ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить систему уравнений:

а)

$$\begin{cases} \log_9(x — y) = \dfrac{1}{2}; \\ \log_{64} x — \log_{64} y = \dfrac{1}{3} \end{cases}$$

Первое уравнение:

$${\log }_9(x-y)=\frac{1}{2};$$

$${\log }_9(x-y)={\log }_{9}3;$$

$$x-y=3;$$

$$\log_9(x — y) = \dfrac{1}{2}; \\ \log_9(x — y) = \log_9 3; \\ x — y = 3; \\ y = x — 3;$$

Второе уравнение:

$${\log }_{64}x-{\log }_{64}y=\frac{1}{3};$$

$${\log }_{64}\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_{64}4;$$

$$\frac{x}{y}=4;$$

$$x=4y;$$

$$x=4(x-3);$$

$$x=4x-12;$$

$$3x=12;$$

$$x=4;$$

$$\log_{64} x — \log_{64} y = \dfrac{1}{3}; \\ \log_{64} \left( \dfrac{x}{y} \right) = \log_{64} 4; \\ \dfrac{x}{y} = 4; \\ x = 4y; \\ x = 4(x — 3); \\ x = 4x — 12; \\ 3x = 12; \\ x = 4; \\ y = 4 — 3 = 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0,\quad y > 0;$$

Ответ: $(4;\ 1)$

б)

$$\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}}(3x — y) = \log_{\frac{1}{3}}(x + 4); \\ \log_9(x^2 + x — y) = \log_9 x^2 \end{cases}$$

Первое уравнение:

$${\log }_{\frac{1}{3}}(3x-y)={\log }_{\frac{1}{3}}(x+4);$$

$$3x-y=x+4;$$

$$\log_{\frac{1}{3}}(3x — y) = \log_{\frac{1}{3}}(x + 4); \\ 3x — y = x + 4; \\ y = 2x — 4;$$

Второе уравнение:

$${\log }_9(x^2+x-y)={\log }_9{x}^2;$$

$${x}^2+x-y=x^2;$$

$$x=y;$$

$$x=2x-4;$$

$$x=4;$$

$$\log_9(x^2 + x — y) = \log_9 x^2; \\ x^2 + x — y = x^2; \\ x = y; \\ x = 2x — 4; \\ x = 4; \\ y = 2 \cdot 4 — 4 = 4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 4 > 0; \\ x > -4;$$

Ответ: $(4;4)$

а)

Решить систему уравнений:

$$\begin{cases} \log_9(x — y) = \dfrac{1}{2}, \\ \log_{64} x — \log_{64} y = \dfrac{1}{3} \end{cases}$$

Шаг 1. Работа с первым уравнением:

$$\log_9(x — y) = \dfrac{1}{2}$$

Вспомним определение логарифма:
Если $\log_a b = c$, то $b = a^c$

Применим:

$$x — y = 9^{1/2} \Rightarrow x — y = \sqrt{9} = 3$$

Выразим одну переменную через другую:

$$y = x — 3$$

Шаг 2. Подставим это выражение во второе уравнение:

$$\log_{64} x — \log_{64} y = \dfrac{1}{3}$$

Подставляем $y = x — 3$:

$$\log_{64} x — \log_{64}(x — 3) = \dfrac{1}{3}$$

Применим свойство логарифмов:

$$\log_{64} x — \log_{64}(x — 3) = \log_{64} \left( \dfrac{x}{x — 3} \right)$$

Тогда уравнение:

$$\log_{64} \left( \dfrac{x}{x — 3} \right) = \dfrac{1}{3}$$

Распишем правую часть:

$$\log_{64} 4 = \dfrac{1}{3} \text{ (так как } 64 = 4^3 \Rightarrow \log_{64} 4 = \dfrac{1}{3})$$

Значит:

$$\dfrac{x}{x — 3} = 4$$

Шаг 3. Решим это рациональное уравнение:

$$\dfrac{x}{x — 3} = 4 \Rightarrow x = 4(x — 3) \Rightarrow x = 4x — 12 \Rightarrow -3x = -12 \Rightarrow x = 4$$

Теперь найдём $y$:

$$y = x — 3 = 4 — 3 = 1$$

Шаг 4. Проверка области допустимых значений (ОДЗ):

Чтобы логарифмы были определены, должны выполняться условия:

• $x — y > 0 \Rightarrow 4 — 1 = 3 > 0$
• $x > 0 \Rightarrow 4 > 0$
• $y > 0 \Rightarrow 1 > 0$

Условия выполнены.

Ответ:

$$(4;\ 1)$$

б)

Решить систему уравнений:

$$\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}}(3x — y) = \log_{\frac{1}{3}}(x + 4), \\ \log_9(x^2 + x — y) = \log_9 x^2 \end{cases}$$

Шаг 1. Работа с первым уравнением:

$$\log_{\frac{1}{3}}(3x — y) = \log_{\frac{1}{3}}(x + 4)$$

Так как основания логарифмов одинаковы и логарифмическая функция с основанием $\frac{1}{3} < 1$ убывающая, то:

$$3x — y = x + 4$$

Решаем:

$$3x — x = y + 4 \Rightarrow 2x = y + 4 \Rightarrow y = 2x — 4$$

Шаг 2. Подставим это в второе уравнение:

$$\log_9(x^2 + x — y) = \log_9 x^2$$

Подставляем $y = 2x — 4$:

$${\log }_9(x^2+x-(2x-4))={\log }_9{x}^2\Rightarrow {\log }_9(x^2+x-2x+4)={\log }_9{x}^2\Rightarrow$$

$$\log_9(x^2 + x — (2x — 4)) = \log_9 x^2 \Rightarrow \log_9(x^2 + x — 2x + 4) = \log_9 x^2 \Rightarrow \log_9(x^2 — x + 4) = \log_9 x^2$$

Так как логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то:

$$x^2 — x + 4 = x^2$$

Решим уравнение:

$$x^2 — x + 4 = x^2 \Rightarrow -x + 4 = 0 \Rightarrow x = 4$$

Теперь найдём $y$:

$$y = 2x — 4 = 2 \cdot 4 — 4 = 8 — 4 = 4$$

Шаг 3. Проверка области допустимых значений (ОДЗ):

Для уравнений должны быть выполнены условия:

• $3x — y > 0 \Rightarrow 12 — 4 = 8 > 0$
• $x + 4 > 0 \Rightarrow 4 + 4 = 8 > 0$
• $x^2 > 0 \Rightarrow 4^2 = 16 > 0$
• $x^2 + x — y > 0 \Rightarrow 16 + 4 — 4 = 16 > 0$

Все условия выполнены.

Ответ:

$$(4;\ 4)$$