ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить систему уравнений:

a)

$$\begin{cases} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x} \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-y} = \dfrac{1}{27}; \\ \log_2 2x — \log_2 y = 2 \end{cases}$$

Первое уравнение:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-y}=\frac{1}{27};$$

$$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x} \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-y} = \dfrac{1}{27};$$ $${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x-y}={\left(\frac{1}{3}\right)}^3;$$

$$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x — y} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3;$$ $$2x-y=3;$$

$$2x — y = 3;$$ $$y = 2x — 3;$$

Второе уравнение:

$${\log }_{2}2x-{\log }_{2}y=2;$$

$$\log_2 2x — \log_2 y = 2;$$ $${\log }_{2}2x={\log }_{2}4+{\log }_{2}y;$$

$$\log_2 2x = \log_2 4 + \log_2 y;$$ $${\log }_{2}2x={\log }_2(4\cdot (2x-3));$$

$$\log_2 2x = \log_2 (4 \cdot (2x — 3));$$ $$2x=8x-12;$$

$$2x = 8x — 12;$$ $$6x=12;$$

$$6x = 12;$$ $$x=2;$$

$$x = 2;$$ $$y = 2 \cdot 2 — 3 = 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0, \; y > 0;$$

Ответ: (2; 1).

б)

$$\begin{cases} \left(\dfrac{1}{2}\right)^x \cdot (\sqrt{2})^y = \log_9 3; \\ \log_4 y — \log_4 x = 1 \end{cases}$$

Первое уравнение:

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^x\cdot (\sqrt{2}{)}^y={\log }_{9}3;$$

$$\left(\dfrac{1}{2}\right)^x \cdot (\sqrt{2})^y = \log_9 3;$$ $${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-0.5y}=\frac{1}{2};$$

$$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x — 0.5y} = \dfrac{1}{2};$$ $$x-0.5y=1;$$

$$x — 0.5y = 1;$$ $$x = 1 + 0.5y;$$

Второе уравнение:

$${\log }_{4}y-{\log }_{4}x=1;$$

$$\log_4 y — \log_4 x = 1;$$ $${\log }_{4}y={\log }_{4}4+{\log }_{4}x;$$

$$\log_4 y = \log_4 4 + \log_4 x;$$ $${\log }_{4}y={\log }_4(4\cdot (1+0.5y));$$

$$\log_4 y = \log_4 (4 \cdot (1 + 0.5y));$$ $$y=4+2y;$$

$$y = 4 + 2y;$$ $$y=-4;$$

$$y = -4;$$ $$x = 1 + 0.5 \cdot (-4) = -1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0, \; y > 0;$$

Ответ: корней нет.

Задача a

Решить систему уравнений:

$$\begin{cases} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x} \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-y} = \dfrac{1}{27} \\ \log_2 2x — \log_2 y = 2 \end{cases}$$

Шаг 1: Упростим первое уравнение

Исходное уравнение:

$$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x} \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-y} = \dfrac{1}{27}$$

Свойство степеней с одинаковыми основаниями:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Применим:

$$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x — y} = \dfrac{1}{27}$$

Запишем правую часть также в виде степени основания $\dfrac{1}{3}$:

$$\dfrac{1}{27} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3$$

Итак:

$$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x — y} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3$$

Так как основания одинаковые, приравниваем показатели:

$$2x — y = 3$$

Выразим $y$ через $x$:

$$y = 2x — 3$$

Шаг 2: Подставим выражение для $y$ во второе уравнение

Второе уравнение:

$$\log_2 2x — \log_2 y = 2$$

Формула разности логарифмов:

$$\log_b m — \log_b n = \log_b \left(\dfrac{m}{n}\right)$$

Применим:

$$\log_2 \left( \dfrac{2x}{y} \right) = 2$$

Подставим вместо $y$ выражение $2x — 3$:

$$\log_2 \left( \dfrac{2x}{2x — 3} \right) = 2$$

Запишем 2 как логарифм:

$$2 = \log_2 4$$

Итак:

$$\log_2 \left( \dfrac{2x}{2x — 3} \right) = \log_2 4$$

Равенство логарифмов с одинаковыми основаниями даёт равенство аргументов:

$$\dfrac{2x}{2x — 3} = 4$$

Шаг 3: Решим рациональное уравнение

$$\dfrac{2x}{2x — 3} = 4$$

Умножим обе части уравнения на $2x — 3$ (допустимо, т.к. $2x — 3 \ne 0$):

$$2x = 4(2x — 3)$$

Раскроем скобки:

$$2x = 8x — 12$$

Перенесем все члены в одну сторону:

$$2x — 8x = -12$$ $$-6x = -12$$ $$x = 2$$

Шаг 4: Найдём значение $y$

Ранее мы выразили:

$$y = 2x — 3$$

Подставим:

$$y = 2 \cdot 2 — 3 = 4 — 3 = 1$$

Шаг 5: Проверка области определения

Во втором уравнении присутствуют логарифмы:

$$\log_2 2x — \log_2 y$$

Для существования логарифмов:

• $2x > 0 \Rightarrow x > 0$
• $y > 0$

Подставим найденные значения:

• $x = 2 > 0$
• $y = 1 > 0$

Условия выполнены, решение допустимо.

Ответ к пункту a:

$$(2;\ 1)$$

Задача б

Решить систему уравнений:

$$\begin{cases} \left(\dfrac{1}{2}\right)^x \cdot (\sqrt{2})^y = \log_9 3 \\ \log_4 y — \log_4 x = 1 \end{cases}$$

Шаг 1: Упростим первое уравнение

Исходное уравнение:

$$\left(\dfrac{1}{2}\right)^x \cdot (\sqrt{2})^y = \log_9 3$$

Преобразуем правую часть:

$$\log_9 3 = \frac{1}{2}, \quad \text{так как } 9 = 3^2 \Rightarrow \log_{3^2} 3 = \frac{1}{2}$$

Теперь преобразуем левую часть.

Представим оба множителя в виде степеней двойки:

• $\dfrac{1}{2} = 2^{-1} \Rightarrow \left( \dfrac{1}{2} \right)^x = 2^{-x}$
• $\sqrt{2} = 2^{1/2} \Rightarrow (\sqrt{2})^y = 2^{0.5y}$

Объединяем:

$$2^{-x} \cdot 2^{0.5y} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2^{-x + 0.5y} = 2^{-1}$$

Приравниваем показатели:

$$— x + 0.5y = -1 \Rightarrow x — 0.5y = 1$$

Выразим $x$:

$$x = 1 + 0.5y$$

Шаг 2: Подставим выражение для $x$ во второе уравнение

Второе уравнение:

$$\log_4 y — \log_4 x = 1$$

Применим формулу разности логарифмов:

$$\log_4 \left( \dfrac{y}{x} \right) = 1$$

Подставим выражение для $x$:

$$\log_4 \left( \dfrac{y}{1 + 0.5y} \right) = 1$$

Запишем правую часть как логарифм:

$$1 = \log_4 4$$

Следовательно:

$$\log_4 \left( \dfrac{y}{1 + 0.5y} \right) = \log_4 4 \Rightarrow \dfrac{y}{1 + 0.5y} = 4$$

Шаг 3: Решим рациональное уравнение

$$\dfrac{y}{1 + 0.5y} = 4$$

Домножим обе части на $1 + 0.5y$:

$$y = 4(1 + 0.5y) \Rightarrow y = 4 + 2y$$

Переносим всё в одну сторону:

$$y — 2y = 4 \Rightarrow -y = 4 \Rightarrow y = -4$$

Шаг 4: Найдём $x$

$$x = 1 + 0.5y = 1 + 0.5 \cdot (-4) = 1 — 2 = -1$$

Шаг 5: Проверка области определения

Во втором уравнении есть логарифмы:

$$\log_4 y — \log_4 x \Rightarrow \text{существует, если } x > 0 \text{ и } y > 0$$

Но мы получили:

• $y = -4$
• $x = -1$

Оба значения отрицательные → область определения нарушена

Ответ к пункту б:

Корней нет.