ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $6^{\log^2_6 x} + x^{\log_6 x} = 12$;

б) $10^{\lg^2 x} + 9x^{\lg x} = 1000$

Решить уравнение:

а) $6^{\log^2_6 x} + x^{\log_6 x} = 12$;
$x^{\log_6 x} + x^{\log_6 x} = 12$;
$2x^{\log_6 x} = 12$;
$x^{\log_6 x} = 6$;
$\log_6 x \cdot \log_6 x = \log_6 6$;
$\log_6 x \cdot \log_6 x = 1$;
$\log_6^2 x = 1$;
$\log_6 x = \pm 1$;
$x_1 = 6^{-1} = \frac{1}{6}$;
$x_2 = 6^1 = 6$;
Ответ: $\frac{1}{6}; 6$.

б) $10^{\lg^2 x} + 9x^{\lg x} = 1000$;
$x^{\lg x} + 9x^{\lg x} = 1000$;
$10x^{\lg x} = 1000$;
$x^{\lg x} = 100$;
$\lg x \cdot \lg x = \lg 100$;
$\lg x \cdot \lg x = \lg 10^2$;
$\lg^2 x = 2$;
$\lg x = \pm \sqrt{2}$;
$x_1 = 10^{-\sqrt{2}} = \frac{1}{10^{\sqrt{2}}}$;
$x_2 = 10^{\sqrt{2}}$;
Ответ: $\frac{1}{10^{\sqrt{2}}}; 10^{\sqrt{2}}$.

а) Решить уравнение:

$$6^{\log_6^2 x} + x^{\log_6 x} = 12$$

Шаг 1: Упростим первое слагаемое

$$6^{\log_6^2 x} = 6^{(\log_6 x)^2}$$

Используем свойство:

$$a^{\log_a^2 x} = (a^{\log_a x})^{\log_a x}$$

Но проще — вспомнить, что:

$$a^{(\log_a x)^2} = (x^{\log_a x}) \quad \text{(потому что } \log_a x = \log_a x \text{)}$$

Но важнее заметить, что:

$$6^{\log_6^2 x} = (6^{\log_6 x})^{\log_6 x} = x^{\log_6 x}$$

Следовательно, обе части уравнения одинаковы:

$$6^{\log_6^2 x} = x^{\log_6 x}$$

Тогда:

$$x^{\log_6 x} + x^{\log_6 x} = 12 \Rightarrow 2x^{\log_6 x} = 12$$

Шаг 2: Делим обе части на 2

$$x^{\log_6 x} = 6$$

Шаг 3: Возьмем логарифм обеих частей по основанию 6

$$\log_6(x^{\log_6 x}) = \log_6 6$$

Используем свойство:

$$\log_a (x^r) = r \log_a x$$

Здесь:

$$\log_6(x^{\log_6 x}) = \log_6 x \cdot \log_6 x = (\log_6 x)^2$$

Правая часть:

$$\log_6 6 = 1$$

Следовательно:

$$(\log_6 x)^2 = 1$$

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение

$$\log_6 x = \pm 1$$

Шаг 5: Возвращаемся к переменной x

Если $\log_6 x = 1$, то:

$$x = 6^1 = 6$$

Если $\log_6 x = -1$, то:

$$x = 6^{-1} = \frac{1}{6}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{6};\ 6}$$

б) Решить уравнение:

$$10^{\lg^2 x} + 9x^{\lg x} = 1000$$

Шаг 1: Преобразуем первое слагаемое

$$10^{(\lg x)^2} = (10^{\lg x})^{\lg x} = x^{\lg x}$$

Обоснование:

$$10^{\lg x} = x, \Rightarrow (10^{\lg x})^{\lg x} = x^{\lg x}$$

Следовательно, уравнение становится:

$$x^{\lg x} + 9x^{\lg x} = 1000$$

Шаг 2: Сложим одинаковые слагаемые

$$10x^{\lg x} = 1000$$

Шаг 3: Делим обе части на 10

$$x^{\lg x} = 100$$

Шаг 4: Возьмем десятичный логарифм (lg) обеих частей

$$\lg(x^{\lg x}) = \lg 100$$

Левая часть:

$$\lg(x^{\lg x}) = \lg x \cdot \lg x = (\lg x)^2$$

Правая часть:

$$\lg 100 = \lg(10^2) = 2$$

Следовательно:

$$(\lg x)^2 = 2$$

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение

$$\lg x = \pm \sqrt{2}$$

Шаг 6: Переходим от логарифма к x

Если $\lg x = \sqrt{2}$, то:

$$x = 10^{\sqrt{2}}$$

Если $\lg x = -\sqrt{2}$, то:

$$x = 10^{-\sqrt{2}} = \frac{1}{10^{\sqrt{2}}}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{10^{\sqrt{2}}};\ 10^{\sqrt{2}}}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{\frac{1}{6};\ 6}$

б) $\boxed{\frac{1}{10^{\sqrt{2}}};\ 10^{\sqrt{2}}}$