ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а) ${}^{}$$x^2{\log }_{36}(5x^2-2x-3)-x{\log }_{\frac{1}{6}}\sqrt{5x^2-2x-3}=x^2+x$;

$x^2\cdot \frac{1}{2}{\log }_6(5x^2-2x-3)-x\cdot \frac{1}{2}\cdot (-1)\cdot {\log }_6(5x^2-2x-3)=x^2+x$;

Пусть $y={\log }_6(5x^2-2x-3)$, тогда:

$\frac{1}{2}{x}^{2}y+\frac{1}{2}xy=x^2+x$;

$\frac{1}{2}{x}^{2}y-x^2+\frac{1}{2}xy-x=0$;

$x^2(0.5y-1)+x(0.5y-1)=0$;

$(x^2+x)(0.5y-1)=0$;

$x(x+1)(y-2)=0$;

$x_1=0,x_2=-1,y=2$;

Вернем замену:

${\log }_6(5x^2-2x-3)=2$;

$5x^2-2x-3=36$;

$5x^2-2x-39=0$;

$D=2^2+4\cdot 5\cdot 39=4+780=784$, тогда:

$x_1=\frac{2-28}{2\cdot 5}=-\frac{26}{10}=-2,6$;

$x_2=\frac{2+28}{2\cdot 5}=\frac{30}{10}=3$;

Выражение имеет смысл при:

$5x^2-2x-3>0$;

$D=2^2+4\cdot 5\cdot 3=4+60=64$, тогда:

$x_1=\frac{2-8}{2\cdot 5}=-\frac{6}{10}=-0,6$;

$x_2=\frac{2+8}{2\cdot 5}=\frac{10}{10}=1$;

$(x+0,6)(x-1)>0$;

$x<-0,6$ или $x>1$;

Ответ: $-2,6;-1;3$.

б) ${}^{}$$x^2{\log }_2\frac{3+x}{10}-x^2{\log }_{\frac{1}{2}}(2+3x)=x^2-4+2{\log }_{\sqrt{2}}\frac{3x^2+11x+6}{10}$;

$x^2\cdot {\log }_2\frac{3+x}{10}-x^2\cdot (-1)\cdot {\log }_2(2+3x)=x^2-4+2\cdot {\log }_2\frac{3x^2+11x+6}{10}$;

$x^2\cdot {\log }_2\frac{3x^2+11x+6}{10}=x^2-4+4{\log }_2\frac{3x^2+11x+6}{10}$;

Пусть $y={\log }_2\frac{3x^2+11x+6}{10}$, тогда:

$x^{2}y=x^2-4+4y$;

$x^{2}y-x^2-4y+4=0$;

$x^2(y-1)-4(y-1)=0$;

$(x^2-4)(y-1)=0$;

$(x+2)(x-2)(y-1)=0$;

$x_1=-2,x_2=2,y=1$;

Вернем замену:

${\log }_2\frac{3x^2+11x+6}{10}=1$;

$\frac{3x^2+11x+6}{10}=2$;

$3x^2+11x+6=20$;

$3x^2+11x-14=0$;

$D={11}^2+4\cdot 3\cdot 14=121+168=289$, тогда:

$x_1=\frac{-11-17}{2\cdot 3}=-\frac{28}{6}=-\frac{14}{3}=-4\frac{2}{3}$;

$x_2=\frac{-11+17}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1$;

Выражение имеет смысл при:

$3+x>0\Rightarrow x>-3$;

$2+3x>0\Rightarrow x>-\frac{2}{3}$;

Ответ: $1;2$.

а)

Условие:

$$x^2{\log }_{36}(5x^2-2x-3)-x{\log }_{\frac{1}{6}}\sqrt{5x^2-2x-3}=x^2+x$$

Шаг 1: Преобразуем логарифмы

Используем формулу смены основания:

$${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b\Rightarrow {\log }_{36}(A)=\frac{1}{2}{\log }_{6}A$$

Второй логарифм:

$${\log }_{\frac{1}{6}}\sqrt{A}={\log }_{\frac{1}{6}}{A}^{1\mathrm{/}2}=\frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{6}}A$$

Меняем основание:

$${\log }_{\frac{1}{6}}A=\frac{{\log }_{6}A}{{\log }_6\left(\frac{1}{6}\right)}=\frac{{\log }_{6}A}{-1}=-{\log }_{6}A\Rightarrow {\log }_{\frac{1}{6}}\sqrt{A}=-\frac{1}{2}{\log }_{6}A$$

Подставим:

$$x^2\cdot \frac{1}{2}{\log }_6(5x^2-2x-3)-x\cdot (-\frac{1}{2}{\log }_6(5x^2-2x-3))=x^2+x$$

Упростим:

$$\frac{1}{2}{x}^2{\log }_6(5x^2-2x-3)+\frac{1}{2}x{\log }_6(5x^2-2x-3)=x^2+x$$

Шаг 2: Вводим замену

Пусть:

$$y={\log }_6(5x^2-2x-3)$$

Тогда уравнение становится:

$$\frac{1}{2}{x}^{2}y+\frac{1}{2}xy=x^2+x$$

Шаг 3: Переносим всё в одну часть

$$\frac{1}{2}{x}^{2}y-x^2+\frac{1}{2}xy-x=0$$

Группируем:

$$x^2(\frac{1}{2}y-1)+x(\frac{1}{2}y-1)=0$$

Вынесем общий множитель:

$$(x^2+x)(\frac{1}{2}y-1)=0$$

Шаг 4: Разделим на множители

$$x(x+1)(\frac{1}{2}y-1)=0\Rightarrow x=0,x=-1,\frac{1}{2}y-1=0$$

Решим последнее:

$$\frac{1}{2}y=1\Rightarrow y=2$$

Шаг 5: Вернём замену

$$y={\log }_6(5x^2-2x-3)=2\Rightarrow 5x^2-2x-3=6^2=36\Rightarrow 5x^2-2x-39=0$$

Шаг 6: Решим квадратное уравнение

$$D=(-2{)}^2+4\cdot 5\cdot 39=4+780=784\Rightarrow \sqrt{D}=28$$$$x=\frac{2\pm 28}{2\cdot 5}=\frac{30}{10}=3,\frac{-26}{10}=-2.6$$

Шаг 7: ОДЗ

Требуем:

$$5x^2-2x-3>0$$

Решим неравенство. Найдём корни:

$$D=4+60=64\Rightarrow x=\frac{2\pm 8}{10}=1,-0.6$$

Решение неравенства:

$$5x^2-2x-3>0\Rightarrow x<-0.6\text{ или }x>1$$

Шаг 8: Проверка корней

Найденные значения:

• $x=0$ — не подходит (в ОДЗ не входит)
• $x=-1$:$$5(-1{)}^2-2(-1)-3=5+2-3=4>0\text{ — подходит}$$
• $x=3$:$$5\cdot 9-6-3=45-6-3=36>0\text{ — подходит}$$
• $x=-2.6$:
  Проверим — $x<-0.6\Rightarrow$ входит в ОДЗ

Ответ к пункту а:

$$\boxed{{\displaystyle -\mathrm{2,6};-1;3}}$$

б)

Условие:

$$x^2{\log }_2\frac{3+x}{10}-x^2{\log }_{\frac{1}{2}}(2+3x)=x^2-4+2{\log }_{\sqrt{2}}\frac{3x^2+11x+6}{10}$$

Шаг 1: Преобразуем логарифмы

${\log }_{\frac{1}{2}}a=-{\log }_{2}a$

${\log }_{\sqrt{2}}a=\frac{{\log }_{2}a}{{\log }_2\sqrt{2}}=\frac{{\log }_{2}a}{1\mathrm{/}2}=2{\log }_{2}a$

Шаг 2: Подставим

$$x^2{\log }_2\frac{3+x}{10}-x^2\cdot (-1){\log }_2(2+3x)=x^2-4+2\cdot 2{\log }_2\frac{3x^2+11x+6}{10}$$

Упростим:

$$x^2{\log }_2\frac{3+x}{10}+x^2{\log }_2(2+3x)=x^2-4+4{\log }_2\frac{3x^2+11x+6}{10}$$

Слева логарифмы с одинаковым коэффициентом:

$$x^2[{\log }_2\frac{3+x}{10}+{\log }_2(2+3x)]=x^2-4+4{\log }_2\frac{3x^2+11x+6}{10}$$

Шаг 3: Сложим логарифмы

$${\log }_2(\frac{3+x}{10}\cdot (2+3x))={\log }_2\left(\frac{(3+x)(2+3x)}{10}\right)$$

Раскроем скобки:

$$(3+x)(2+3x)=6+9x+2x+3x^2=3x^2+11x+6$$

Значит:

$${\log }_2\frac{3x^2+11x+6}{10}$$

Итак:

$$x^2\cdot {\log }_2\frac{3x^2+11x+6}{10}=x^2-4+4{\log }_2\frac{3x^2+11x+6}{10}$$

Шаг 4: Обозначим:

$$y={\log }_2\frac{3x^2+11x+6}{10}$$

Тогда:

$$x^{2}y=x^2-4+4y\Rightarrow x^{2}y-x^2-4y+4=0$$

Шаг 5: Преобразуем

$$x^2(y-1)-4(y-1)=0\Rightarrow (x^2-4)(y-1)=0$$

Разложим:

$$(x-2)(x+2)(y-1)=0\Rightarrow x=-2,x=2,y=1$$

Шаг 6: Вернём замену

$${\log }_2\frac{3x^2+11x+6}{10}=1\Rightarrow \frac{3x^2+11x+6}{10}=2\Rightarrow 3x^2+11x+6=20\Rightarrow$$

$$3x^2+11x-14=0$$

$$D=121+168=289\Rightarrow \sqrt{D}=17\Rightarrow x=\frac{-11\pm 17}{6}$$

$$x_1=\frac{6}{6}=1,x_2=\frac{-28}{6}=-\frac{14}{3}=-4\frac{2}{3}$$

Шаг 7: ОДЗ

Проверим все логарифмы:

1. ${\log }_2\frac{3+x}{10}$: числитель > 0 → $x>-3$
2. ${\log }_{\frac{1}{2}}(2+3x)$: аргумент > 0 → $x>-\frac{2}{3}$
3. ${\log }_{\sqrt{2}}\frac{3x^2+11x+6}{10}$: числитель > 0
   Найдём корни: 

   $$3x^2+11x+6=0\Rightarrow x=-2,-1\Rightarrow \text{выражение}>0\text{ вне этих точек}$$

Шаг 8: Проверка решений

• $x=2$: входит в ОДЗ
• $x=1$: входит в ОДЗ
• $x=-2$: в нём выражение в логарифме обращается в ноль → не входит
• $x=-4\frac{2}{3}$: не входит, так как $x<-3$

Ответ к пункту б:

$$\boxed{{\displaystyle 1;2}}$$

Окончательные ответы:

а) $\boxed{{\displaystyle -\mathrm{2,6};-1;3}}$
б) $\boxed{{\displaystyle 1;2}}$