ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а)

$${\log }_{\mathrm{0,1}}(x^2+4x-20)=0$$

$$\log_{0{,}1}(x^2 + 4x — 20) = 0$$ $$x^2+4x-20=1$$

$$x^2 + 4x — 20 = 1$$ $$x^2+4x-21=0$$

$$x^2 + 4x — 21 = 0$$ $$D=4^2+4\cdot 21=16+84=100,\text{ тогда:}$$

$$D = 4^2 + 4 \cdot 21 = 16 + 84 = 100,\ \text{тогда:}$$ $$x_1 = \dfrac{-4 — 10}{2} = -7,\quad x_2 = \dfrac{-4 + 10}{2} = 3$$

Ответ: $-7;\ 3$

б)

$${\log }_{\frac{1}{3}}(x^2-10x+10)=0$$

$$\log_{\frac{1}{3}}(x^2 — 10x + 10) = 0$$ $$x^2-10x+10=1$$

$$x^2 — 10x + 10 = 1$$ $$x^2-10x+9=0$$

$$x^2 — 10x + 9 = 0$$ $$D={10}^2-4\cdot 9=100-36=64,\text{ тогда:}$$

$$D = 10^2 — 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64,\ \text{тогда:}$$ $$x_1 = \dfrac{10 — 8}{2} = 1,\quad x_2 = \dfrac{10 + 8}{2} = 9$$

Ответ: $1;\ 9$

в)

$${\log }_7(x^2-12x+36)=0$$

$$\log_7(x^2 — 12x + 36) = 0$$ $$x^2-12x+36=1$$

$$x^2 — 12x + 36 = 1$$ $$x^2-12x+35=0$$

$$x^2 — 12x + 35 = 0$$ $$D={12}^2-4\cdot 35=144-140=4,\text{ тогда:}$$

$$D = 12^2 — 4 \cdot 35 = 144 — 140 = 4,\ \text{тогда:}$$ $$x_1 = \dfrac{12 — 2}{2} = 5,\quad x_2 = \dfrac{12 + 2}{2} = 7$$

Ответ: $5;\ 7$

г)

$${\log }_{12}(x^2-8x+16)=0$$

$$\log_{12}(x^2 — 8x + 16) = 0$$ $$x^2-8x+16=1$$

$$x^2 — 8x + 16 = 1$$ $$x^2-8x+15=0$$

$$x^2 — 8x + 15 = 0$$ $$D=8^2-4\cdot 15=64-60=4,\text{ тогда:}$$

$$D = 8^2 — 4 \cdot 15 = 64 — 60 = 4,\ \text{тогда:}$$ $$x_1 = \dfrac{8 — 2}{2} = 3,\quad x_2 = \dfrac{8 + 2}{2} = 5$$

Ответ: $3;\ 5$

а)

$$\log_{0{,}1}(x^2 + 4x — 20) = 0$$

Шаг 1. Преобразуем логарифмическое уравнение

Вспомним основное логарифмическое тождество:

$$\log_a A = B \iff A = a^B, \quad \text{при } a > 0,\ a \ne 1,\ A > 0$$

Здесь:

• $a = 0.1 = \frac{1}{10} < 1$, значит основание допустимо.
• Правая часть равна нулю:

  $$\log_{0.1}(x^2 + 4x — 20) = 0 \Rightarrow x^2 + 4x — 20 = (0.1)^0 = 1$$

Шаг 2. Решим уравнение

$$x^2 + 4x — 20 = 1 \Rightarrow x^2 + 4x — 21 = 0$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$$ $$\sqrt{D} = 10$$ $$x_1 = \frac{-4 — 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7,\quad x_2 = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Шаг 4. Проверка ОДЗ

Для логарифма аргумент должен быть строго положительным:

$$x^2 + 4x — 20 > 0$$

Решим неравенство:
Мы знаем, что корни уравнения $x^2 + 4x — 20 = 0$ — это:

$$x = -2 + \sqrt{24} \approx 2.9,\quad x = -2 — \sqrt{24} \approx -6.9$$

Значит, выражение $x^2 + 4x — 20 > 0$ при:

$$x < -2 — \sqrt{24}\quad \text{или} \quad x > -2 + \sqrt{24}$$

Проверим найденные корни:

• $x = -7 \Rightarrow$ попадает в $x < -2 — \sqrt{24} \approx -6.9$ — подходит
• $x = 3 \Rightarrow$ попадает в $x > 2.9$ — подходит

Ответ: $-7;\ 3$

б)

$$\log_{\frac{1}{3}}(x^2 — 10x + 10) = 0$$

Шаг 1. Переводим в показательную форму

$$x^2 — 10x + 10 = \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 \Rightarrow x^2 — 10x + 9 = 0$$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 — 36 = 64,\quad \sqrt{D} = 8$$ $$x_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1,\quad x_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9$$

Шаг 3. Проверка ОДЗ

$$x^2 — 10x + 10 > 0$$

Эта квадратичная функция положительна, если $x$ вне корней:

$$x < 1\quad \text{или} \quad x > 9$$

Проверим корни:

• $x = 1$ и $x = 9$ делают выражение равным 0 — не входят в ОДЗ
• Но подставляя в исходное уравнение:

  $$\log_{1/3}(1) = 0\quad \text{так как } \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$$

То есть, исходное логарифмическое уравнение допускает аргумент равный 1.

А значит, корни $x = 1$ и $x = 9$ — подходят.

Ответ: $1;\ 9$

в)

$$\log_7(x^2 — 12x + 36) = 0$$

Шаг 1. Переводим в показательную форму

$$x^2 — 12x + 36 = 1 \Rightarrow x^2 — 12x + 35 = 0$$

Шаг 2. Решаем квадратное уравнение

$$D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 — 140 = 4 \Rightarrow \sqrt{D} = 2$$ $$x_1 = \frac{12 — 2}{2} = 5,\quad x_2 = \frac{12 + 2}{2} = 7$$

Шаг 3. Проверка ОДЗ

Аргумент логарифма:

$$x^2 — 12x + 36 = (x — 6)^2$$

Тогда:

$$(x — 6)^2 > 0 \Rightarrow x \ne 6$$

Но мы решали уравнение:

$$(x — 6)^2 = 1 \Rightarrow x = 5 \text{ или } x = 7 \Rightarrow x \ne 6\ \text{— и это соблюдено}$$

Ответ: $5;\ 7$

г)

$$\log_{12}(x^2 — 8x + 16) = 0$$

Шаг 1. Переводим в показательную форму

$$x^2 — 8x + 16 = 1 \Rightarrow x^2 — 8x + 15 = 0$$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение

$$D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 — 60 = 4,\quad \sqrt{D} = 2$$ $$x_1 = \frac{8 — 2}{2} = 3,\quad x_2 = \frac{8 + 2}{2} = 5$$

Шаг 3. Проверка ОДЗ

$$x^2 — 8x + 16 = (x — 4)^2 > 0 \Rightarrow x \ne 4$$

Мы решаем уравнение:

$$(x — 4)^2 = 1 \Rightarrow x = 3\ \text{или}\ x = 5$$

Оба значения не равны 4 → логарифм определён

Ответ: $3;\ 5$