ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а)

$${\log }_3(x^2-11x+27)=2$$

$$\log_3(x^2 — 11x + 27) = 2$$ $$x^2-11x+27=9$$

$$x^2 — 11x + 27 = 9$$ $$x^2-11x+18=0$$

$$x^2 — 11x + 18 = 0$$ $$D={11}^2-4\cdot 18=121-72=49,\text{ тогда:}$$

$$D = 11^2 — 4 \cdot 18 = 121 — 72 = 49,\ \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{11 — 7}{2} = 2,\quad x_2 = \frac{11 + 7}{2} = 9$$

Ответ: $2;\ 9$

б)

$${\log }_{\frac{1}{7}}(x^2+x-5)=-1$$

$$\log_{\frac{1}{7}}(x^2 + x — 5) = -1$$ $$x^2+x-5=7$$

$$x^2 + x — 5 = 7$$ $$x^2+x-12=0$$

$$x^2 + x — 12 = 0$$ $$D=1^2+4\cdot 12=1+48=49,\text{ тогда:}$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49,\ \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4,\quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3$$

Ответ: $-4;\ 3$

в)

$${\log }_2(x^2-3x-10)=3$$

$$\log_2(x^2 — 3x — 10) = 3$$ $$x^2-3x-10=8$$

$$x^2 — 3x — 10 = 8$$ $$x^2-3x-18=0$$

$$x^2 — 3x — 18 = 0$$ $$D=3^2+4\cdot 18=9+72=81,\text{ тогда:}$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 18 = 9 + 72 = 81,\ \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{3 — 9}{2} = -3,\quad x_2 = \frac{3 + 9}{2} = 6$$

Ответ: $-3;\ 6$

г)

$${\log }_{\frac{1}{3}}(x^2+3x-1)=-2$$

$$\log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x — 1) = -2$$ $$x^2+3x-1=9$$

$$x^2 + 3x — 1 = 9$$ $$x^2+3x-10=0$$

$$x^2 + 3x — 10 = 0$$ $$D=3^2+4\cdot 10=9+40=49,\text{ тогда:}$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49,\ \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5,\quad x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$$

Ответ: $-5;\ 2$

а)

$$\log_3(x^2 — 11x + 27) = 2$$

Шаг 1. Преобразуем уравнение в показательную форму

Используем определение логарифма:

$$\log_a A = B \iff A = a^B,\quad \text{при } a > 0,\ a \ne 1,\ A > 0$$

Применим:

$$x^2 — 11x + 27 = 3^2 = 9$$

Шаг 2. Переносим 9 в левую часть

$$x^2 — 11x + 27 — 9 = 0 \Rightarrow x^2 — 11x + 18 = 0$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение

$$D = (-11)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 — 72 = 49 \Rightarrow \sqrt{D} = 7$$ $$x_1 = \frac{11 — 7}{2} = \frac{4}{2} = 2,\quad x_2 = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

Шаг 4. Проверка ОДЗ

Для логарифма:

$$x^2 — 11x + 27 > 0$$

Это выражение положительно для всех $x$, кроме промежутка между корнями уравнения $x^2 — 11x + 27 = 0$.
Найдём его корни:

$$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 — 108}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{13}}{2}$$

Приблизительно:

$$x \in \left( \frac{11 — \sqrt{13}}{2},\ \frac{11 + \sqrt{13}}{2} \right) \approx (3.7;\ 7.3)$$

Следовательно, $x = 2$ и $x = 9$ — вне промежутка, выражение положительно.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ

Ответ: $x = 2;\ 9$

б)

$$\log_{\frac{1}{7}}(x^2 + x — 5) = -1$$

Шаг 1. Переводим в показательную форму

$$x^2 + x — 5 = \left( \frac{1}{7} \right)^{-1} = 7$$

Шаг 2. Приводим уравнение к стандартному виду

$$x^2 + x — 5 — 7 = 0 \Rightarrow x^2 + x — 12 = 0$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49,\quad \sqrt{D} = 7$$ $$x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4,\quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3$$

Шаг 4. Проверка ОДЗ

$$x^2 + x — 5 > 0$$

Решим неравенство:

Найдём корни:

$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2} \approx -2.8,\ 1.8$$

Значит:

$$x < -2.8\quad \text{или} \quad x > 1.8$$

Проверим:

• $x = -4$ — входит в $x < -2.8$
• $x = 3$ — входит в $x > 1.8$

Оба корня допустимы

Ответ: $-4;\ 3$

в)

$$\log_2(x^2 — 3x — 10) = 3$$

Шаг 1. Переводим в показательную форму

$$x^2 — 3x — 10 = 2^3 = 8$$

Шаг 2. Преобразуем

$$x^2 — 3x — 18 = 0$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81,\quad \sqrt{D} = 9$$ $$x_1 = \frac{3 — 9}{2} = -3,\quad x_2 = \frac{3 + 9}{2} = 6$$

Шаг 4. Проверка ОДЗ

$$x^2 — 3x — 10 > 0$$

Решим неравенство:

Корни:

$$x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2} = -2,\ 5$$

Значит:

$$x < -2\quad \text{или} \quad x > 5$$

Проверка:

• $x = -3$ — входит в $x < -2$
• $x = 6$ — входит в $x > 5$

Оба корня допустимы

Ответ: $-3;\ 6$

г)

$$\log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x — 1) = -2$$

Шаг 1. Переводим в показательную форму

$$x^2 + 3x — 1 = \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} = 3^2 = 9$$

Шаг 2. Преобразуем

$$x^2 + 3x — 10 = 0$$

Шаг 3. Решим квадратное уравнение

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49,\quad \sqrt{D} = 7$$ $$x_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5,\quad x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$$

Шаг 4. Проверка ОДЗ

$$x^2 + 3x — 1 > 0$$

Решаем неравенство:

Найдём корни:

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2} \approx -3.3,\ 0.3$$

Значит:

$$x < -3.3\quad \text{или} \quad x > 0.3$$

Проверим:

• $x = -5$ — входит
• $x = 2$ — входит

Оба корня допустимы

Ответ: $-5;2$