ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а) $\log_2 x = \log_2 3 + \log_2 5$;
$\log_2 x = \log_2(3 \cdot 5)$;
$x = 15$;
Ответ: 15.

б) $\log_7 4 = \log_7 x — \log_7 9$;
$\log_7 4 = \log_7 \frac{x}{9}$;
$4 = \frac{x}{9}$;
$x = 36$;
Ответ: 36.

в) $\log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 18$;
$\log_{\frac{1}{3}} 4x = \log_{\frac{1}{3}} 18$;
$4x = 18$;
$x = 4{,}5$;
Ответ: 4,5.

г) $\log_{0{,}4} 9 — \log_{0{,}4} x = \log_{0{,}4} 3$;
$\log_{0{,}4} \frac{9}{x} = \log_{0{,}4} 3$;
$\frac{9}{x} = 3$;
$x = 3$;
Ответ: 3.

а) $\log_2 x = \log_2 3 + \log_2 5$

Шаг 1. Применим свойство логарифмов:

$$\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$$

Шаг 2. Объединим правую часть:

$$\log_2 x = \log_2(3 \cdot 5)$$

Шаг 3. Перемножим числа под логарифмом:

$$\log_2 x = \log_2 15$$

Шаг 4. Если логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны и их аргументы:

$$x = 15$$

Шаг 5. Проверка ОДЗ:
$x > 0$, значение $x = 15$ — положительное.

Ответ: 15

б) $\log_7 4 = \log_7 x — \log_7 9$

Шаг 1. Применим свойство логарифмов:

$$\log_a b — \log_a c = \log_a\left( \frac{b}{c} \right)$$

Шаг 2. Преобразуем правую часть:

$$\log_7 x — \log_7 9 = \log_7 \left( \frac{x}{9} \right)$$

Шаг 3. Получаем уравнение:

$$\log_7 4 = \log_7 \left( \frac{x}{9} \right)$$

Шаг 4. Раз логарифмы с одинаковым основанием равны, приравниваем аргументы:

$$4 = \frac{x}{9}$$

Шаг 5. Умножаем обе части уравнения на 9:

$$x = 4 \cdot 9 = 36$$

Шаг 6. Проверка ОДЗ:
Аргументы логарифмов: $x > 0$, $x = 36$ — подходит.

Ответ: 36

в) $\log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 18$

Шаг 1. Применим свойство логарифмов:

$$\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$$

Шаг 2. Объединим левую часть:

$$\log_{\frac{1}{3}} (4x) = \log_{\frac{1}{3}} 18$$

Шаг 3. Если логарифмы равны, приравниваем аргументы:

$$4x = 18$$

Шаг 4. Разделим обе части на 4:

$$x = \frac{18}{4} = 4{,}5$$

Шаг 5. Проверка ОДЗ:
$x > 0$, значение $x = 4{,}5$ — подходит.

Ответ: 4,5

г) $\log_{0{,}4} 9 — \log_{0{,}4} x = \log_{0{,}4} 3$

Шаг 1. Применим свойство логарифмов:

$$\log_a b — \log_a c = \log_a\left( \frac{b}{c} \right)$$

Шаг 2. Преобразуем левую часть:

$$\log_{0{,}4} \left( \frac{9}{x} \right) = \log_{0{,}4} 3$$

Шаг 3. Приравниваем аргументы:

$$\frac{9}{x} = 3$$

Шаг 4. Умножим обе части на $x$:

$$9 = 3x$$

Шаг 5. Разделим на 3:

$$x = \frac{9}{3} = 3$$

Шаг 6. Проверка ОДЗ:
$x > 0$, значение $x = 3$ — подходит.

Ответ: 3