ГДЗ 10-11 Класс Номер 45.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить неравенство:

а) $\log_3 x > \log_3 72 — \log_3 8$;
$\log_3 x > \log_3 \frac{72}{8}$;
$x > 9$;
Ответ: $x \in (9;\ +\infty)$.

б) $3 \log_{\tfrac{1}{3}} x < \log_{\tfrac{1}{3}} 9 + \log_{\tfrac{1}{3}} 3$;
$\log_{\tfrac{1}{3}} x^3 < \log_{\tfrac{1}{3}} (9 \cdot 3)$;
$x^3 > 27$;
$x > 3$;
Ответ: $x \in (3;\ +\infty)$.

в) $\log_5 x — \log_5 35 \leq \log_5 \tfrac{1}{7}$;
$\log_5 \tfrac{x}{35} \leq \log_5 \tfrac{1}{7}$;
$0 < \tfrac{x}{35} \leq \tfrac{1}{7}$;
$0 < x \leq 5$;
Ответ: $x \in (0;\ 5]$.

г) $4 \log_{0.6} x \geq \log_{0.6} 8 + \log_{0.6} 2$;
$\log_{0.6} x^4 \geq \log_{0.6} (8 \cdot 2)$;
$0 < x^4 \leq 16$;
$0 < x \leq 2$;
Ответ: $x \in (0;\ 2]$.

а) Дано: $\log_3 x > \log_3 72 — \log_3 8$.
Шаг 1. Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b — \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$ (для $a>0,\ a\neq1,\ b>0,\ c>0$). Получаем
$\log_3 x > \log_3 \frac{72}{8} = \log_3 9$.
Шаг 2. Основание $3>1$, функция $\log_3 t$ возрастает, поэтому знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:
$x > 9$.
Шаг 3. ОДЗ: для $\log_3 x$ требуется $x>0$, что согласуется с найденным условием $x>9$.
Ответ: $x \in (9; +\infty)$.

б) Дано: $3\log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} 9 + \log_{\frac{1}{3}} 3$.
Шаг 1. Слева используем $k\log_a x = \log_a x^k$:
$3\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} x^3$.
Справа используем сумму логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_{\frac{1}{3}} 9 + \log_{\frac{1}{3}} 3 = \log_{\frac{1}{3}} (9\cdot 3) = \log_{\frac{1}{3}} 27$.
Имеем $\log_{\frac{1}{3}} x^3 < \log_{\frac{1}{3}} 27$.
Шаг 2. Основание $\frac{1}{3}\in(0,1)$, функция $\log_{\frac{1}{3}} t$ убывает, значит при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$x^3 > 27$.
Шаг 3. Кубическая функция монотонно возрастает на $\mathbb{R}$, потому $x^3>27 \iff x>3$.
Шаг 4. ОДЗ: в исходном выражении $\log_{\frac{1}{3}} x$ требует $x>0$; это согласуется с $x>3$.
Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

в) Дано: $\log_5 x — \log_5 35 \le \log_5 \frac{1}{7}$.
Шаг 1. Объединим логарифмы слева: $\log_5 x — \log_5 35 = \log_5 \frac{x}{35}$. Получаем
$\log_5 \frac{x}{35} \le \log_5 \frac{1}{7}$.
Шаг 2. Основание $5>1$ (логарифм возрастает), значит знак неравенства сохраняется:
$\frac{x}{35} \le \frac{1}{7}$.
Шаг 3. Домножим на 35 (положительное число, знак не меняется): $x \le 5$.
Шаг 4. ОДЗ: для $\log_5 x$ нужно $x>0$, а также $\frac{x}{35}>0\Rightarrow x>0$. Совмещая, получаем $0<x\le 5$.
Ответ: $x \in (0; 5]$.

г) Дано: $4\log_{0.6} x \ge \log_{0.6} 8 + \log_{0.6} 2$.
Шаг 1. Слева: $4\log_{0.6} x = \log_{0.6} x^4$. Справа: сумма логарифмов $\Rightarrow \log_{0.6}(8\cdot 2)=\log_{0.6} 16$. Имеем
$\log_{0.6} x^4 \ge \log_{0.6} 16$.
Шаг 2. Основание $0{,}6\in(0,1)$, логарифм убывает, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$x^4 \le 16$.
Шаг 3. Решим неравенство: $x^4 \le 2^4\Rightarrow -2 \le x \le 2$.
Шаг 4. ОДЗ: $\log_{0.6} x$ требует $x>0$. Пересечение с $[-2,2]$ даёт $0<x\le 2$.
Ответ: $x \in (0; 2]$.