ГДЗ 10-11 Класс Номер 45.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$${\log }_{\frac{1}{3}}x+{\log }_{\frac{1}{3}}(4-x)>-1;$$

$$\log_{\tfrac{1}{3}} x + \log_{\tfrac{1}{3}}(4 — x) > -1;$$ $${\log }_{\frac{1}{3}}(x\cdot (4-x))>{\log }_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1};$$

$$\log_{\tfrac{1}{3}}(x \cdot (4 — x)) > \log_{\tfrac{1}{3}}\left(\tfrac{1}{3}\right)^{-1};$$ $$x(4-x)<3;$$

$$x(4 — x) < 3;$$ $$x^2-4x+3>0;$$

$$x^2 — 4x + 3 > 0;$$ $$D=4^2-4\cdot 3=16-12=4,\text{ тогда:}$$

$$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4,\ \text{тогда:}$$ $$x_1=\frac{4-2}{2}=1\text{ и }{x}_2=\frac{4+2}{2}=3;$$

$$x_1 = \tfrac{4 — 2}{2} = 1\ \text{и}\ x_2 = \tfrac{4 + 2}{2} = 3;$$ $$(x-1)(x-3)>0;$$

$$(x — 1)(x — 3) > 0;$$ $$x < 1\ \text{или}\ x > 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x>0;$$

$$x > 0;$$ $$4 — x > 0 \Rightarrow x < 4;$$

Ответ: $x \in (0; 1) \cup (3; 4)$.

б)

$${\log }_2(7-x)+{\log }_{2}x\ge 1+{\log }_{2}3;$$

$$\log_2(7 — x) + \log_2 x \geq 1 + \log_2 3;$$ $${\log }_2((7-x)\cdot x)\ge {\log }_{2}2+{\log }_{2}3;$$

$$\log_2((7 — x) \cdot x) \geq \log_2 2 + \log_2 3;$$ $$(7-x)x\ge 2\cdot 3;$$

$$(7 — x)x \geq 2 \cdot 3;$$ $$x^2-7x+6\le 0;$$

$$x^2 — 7x + 6 \leq 0;$$ $$D=7^2-4\cdot 6=49-24=25,\text{ тогда:}$$

$$D = 7^2 — 4 \cdot 6 = 49 — 24 = 25,\ \text{тогда:}$$ $$x_1=\frac{7-5}{2}=1\text{ и }{x}_2=\frac{7+5}{2}=6;$$

$$x_1 = \tfrac{7 — 5}{2} = 1\ \text{и}\ x_2 = \tfrac{7 + 5}{2} = 6;$$ $$(x-1)(x-6)\le 0;$$

$$(x — 1)(x — 6) \leq 0;$$ $$1 \leq x \leq 6;$$

Выражение имеет смысл при:

$$7-x>0\Rightarrow x<7;$$

$$7 — x > 0 \Rightarrow x < 7;$$ $$x > 0;$$

Ответ: $x \in [1; 6]$.

в)

$$\lg (7-x)+\lg x>1;$$

$$\lg(7 — x) + \lg x > 1;$$ $$\lg ((7-x)\cdot x)>\lg 10;$$

$$\lg((7 — x) \cdot x) > \lg 10;$$ $$(7-x)x>10;$$

$$(7 — x)x > 10;$$ $$x^2-7x+10<0;$$

$$x^2 — 7x + 10 < 0;$$ $$D=7^2-4\cdot 10=49-40=9,\text{ тогда:}$$

$$D = 7^2 — 4 \cdot 10 = 49 — 40 = 9,\ \text{тогда:}$$ $$x_1=\frac{7-3}{2}=2\text{ и }{x}_2=\frac{7+3}{2}=5;$$

$$x_1 = \tfrac{7 — 3}{2} = 2\ \text{и}\ x_2 = \tfrac{7 + 3}{2} = 5;$$ $$(x-2)(x-5)<0;$$

$$(x — 2)(x — 5) < 0;$$ $$2 < x < 5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$7-x>0\Rightarrow x<7;$$

$$7 — x > 0 \Rightarrow x < 7;$$ $$x > 0;$$

Ответ: $x \in (2; 5)$.

г)

$${\log }_{\frac{1}{2}}x+{\log }_{\frac{1}{2}}(10-x)\ge -1+{\log }_{\frac{1}{2}}4,5;$$

$$\log_{\tfrac{1}{2}} x + \log_{\tfrac{1}{2}}(10 — x) \geq -1 + \log_{\tfrac{1}{2}} 4,5;$$ $${\log }_{\frac{1}{2}}(x\cdot (10-x))\ge {\log }_{\frac{1}{2}}2+{\log }_{\frac{1}{2}}4,5;$$

$$\log_{\tfrac{1}{2}}(x \cdot (10 — x)) \geq \log_{\tfrac{1}{2}} 2 + \log_{\tfrac{1}{2}} 4,5;$$ $$x(10-x)\le 2\cdot 4,5;$$

$$x(10 — x) \leq 2 \cdot 4,5;$$ $$x^2-10x+9\ge 0;$$

$$x^2 — 10x + 9 \geq 0;$$ $$D={10}^2-4\cdot 9=100-36=64,\text{ тогда:}$$

$$D = 10^2 — 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64,\ \text{тогда:}$$ $$x_1=\frac{10-8}{2}=1\text{ и }{x}_2=\frac{10+8}{2}=9;$$

$$x_1 = \tfrac{10 — 8}{2} = 1\ \text{и}\ x_2 = \tfrac{10 + 8}{2} = 9;$$ $$(x-1)(x-9)\ge 0;$$

$$(x — 1)(x — 9) \geq 0;$$ $$x \leq 1\ \text{или}\ x \geq 9;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x>0;$$

$$x > 0;$$ $$10 — x > 0 \Rightarrow x < 10;$$

Ответ: $x \in (0; 1] \cup [9; 10)$.

а) Дано: $\log_{\frac{1}{3}} x + \log_{\frac{1}{3}}(4 — x) > -1$.

Область допустимых значений (ОДЗ): для каждого логарифма аргумент должен быть положительным: $x>0$ и $4-x>0\Rightarrow x<4$. Итак, ОДЗ: $0<x<4$.

Складываем логарифмы с одинаковым основанием: $\log_a u+\log_a v=\log_a(uv)$ (при $a>0,\ a\neq1,\ u>0,\ v>0$):
$\log_{\frac{1}{3}}\!\big(x(4-x)\big)>-1$.

Представим $-1$ как логарифм по тому же основанию: $-1=\log_{\frac{1}{3}}\!\big((\tfrac13)^{-1}\big)=\log_{\frac{1}{3}}3$. Тогда
$\log_{\frac{1}{3}}\!\big(x(4-x)\big)>\log_{\frac{1}{3}}3$.

Основание $\tfrac13\in(0,1)$, логарифм убывает, поэтому при переходе к аргументам знак меняется на противоположный:
$x(4-x)<3$.

Преобразуем: $4x-x^2<3\ \Rightarrow\ -x^2+4x-3<0$. Умножаем на $-1$ (переворачивая знак): $x^2-4x+3>0$.

Найдём корни: $D=4^2-4\cdot3=16-12=4$, $x_{1,2}=\dfrac{4\pm2}{2}\Rightarrow x_1=1,\ x_2=3$. Так как парабола вверх, неравенство $>0$ верно вне корней: $x\in(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$.

Пересекаем с ОДЗ $0<x<4$: получаем $(0,1)\cup(3,4)$.
Ответ: $x\in(0;1)\cup(3;4)$.

б) Дано: $\log_2(7-x)+\log_2 x\ge 1+\log_2 3$.

ОДЗ: $7-x>0\Rightarrow x<7$ и $x>0$. Итак, $0<x<7$.

Складываем логарифмы: $\log_2\big((7-x)x\big)\ge \log_2 2+\log_2 3=\log_2(2\cdot3)=\log_2 6$.

Основание $2>1$, логарифм возрастает, знак сохраняется: $(7-x)x\ge 6$.

Преобразуем: $-x^2+7x-6\ge0$. Умножаем на $-1$ (меняем знак): $x^2-7x+6\le 0$.

Корни: $D=7^2-4\cdot6=49-24=25$, $x_{1,2}=\dfrac{7\pm5}{2}\Rightarrow x_1=1,\ x_2=6$. Парабола вверх, $\le0$ между корнями: $x\in[1,6]$.

Пересечение с ОДЗ $0<x<7$ не меняет ответ: $x\in[1,6]$.
Ответ: $x\in[1;6]$.

в) Дано: $\lg(7-x)+\lg x>1$.

ОДЗ: $7-x>0\Rightarrow x<7$ и $x>0$. Итак, $0<x<7$.

Складываем логарифмы (десятичные): $\lg\big((7-x)x\big)>\lg 10$ (так как $1=\lg 10$).

Основание $10>1$, логарифм возрастает, знак сохраняется: $(7-x)x>10$.

Преобразуем: $-x^2+7x-10>0\ \Rightarrow\ x^2-7x+10<0$.

Корни: $D=7^2-4\cdot10=49-40=9$, $x_{1,2}=\dfrac{7\pm3}{2}\Rightarrow x_1=2,\ x_2=5$. Парабола вверх, $<0$ между корнями: $x\in(2,5)$.

Пересечение с ОДЗ $0<x<7$ не меняет: $x\in(2,5)$.
Ответ: $x\in(2;5)$.

г) Дано: $\log_{\frac{1}{2}} x+\log_{\frac{1}{2}}(10-x)\ge -1+\log_{\frac{1}{2}} 4{,}5$.

ОДЗ: $x>0$ и $10-x>0\Rightarrow x<10$. Итак, $0<x<10$.

Складываем: $\log_{\frac{1}{2}}\!\big(x(10-x)\big)\ge \log_{\frac{1}{2}} 2+\log_{\frac{1}{2}} 4{,}5=\log_{\frac{1}{2}}(2\cdot4{,}5)=\log_{\frac{1}{2}} 9$.

Основание $\tfrac12\in(0,1)$, логарифм убывает, при переходе к аргументам знак меняется на противоположный: $x(10-x)\le 9$.

Преобразуем: $-x^2+10x\le 9\ \Rightarrow\ -x^2+10x-9\le0$. Умножаем на $-1$: $x^2-10x+9\ge0$.

Корни: $D=10^2-4\cdot9=100-36=64$, $x_{1,2}=\dfrac{10\pm8}{2}\Rightarrow x_1=1,\ x_2=9$. Парабола вверх, $\ge0$ вне корней: $x\in(-\infty,1]\cup[9,+\infty)$.

Пересечение с ОДЗ $0<x<10$ даёт $x\in(0,1]\cup[9,10)$.
Ответ: $x\in(0;1]\cup[9;10)$.