ГДЗ 10-11 Класс Номер 45.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить систему неравенств:

а)

$$\left\{ \begin{array}{l} \log_3 x^2 > \log_3 125 — \log_3 5 \\ \log_{0{,}2}(x — 1) < 0 \end{array} \right.$$

Первое неравенство:

$${\log }_3{x}^2>{\log }_{3}125-{\log }_{3}5;$$

$$\log_3 x^2 > \log_3 125 — \log_3 5;$$ $${\log }_3{x}^2>{\log }_3\frac{125}{5};$$

$$\log_3 x^2 > \log_3 \frac{125}{5};$$ $$x^2>25;$$

$$x^2 > 25;$$ $$x > 5;$$

Второе неравенство:

$${\log }_{\mathrm{0,2}}(x-1)<0;$$

$$\log_{0{,}2}(x — 1) < 0;$$ $$x-1>1;$$

$$x — 1 > 1;$$ $$x > 2;$$

Ответ: $x \in (5;\ +\infty)$.

б)

$$\left\{ \begin{array}{l} \log_{\frac{1}{2}} x^2 \geq \log_{\frac{1}{2}} 28 — \log_{\frac{1}{2}} 7 \\ \log_3(4x — 1) > 0 \end{array} \right.$$

Первое неравенство:

$${\log }_{\frac{1}{2}}{x}^2\ge {\log }_{\frac{1}{2}}28-{\log }_{\frac{1}{2}}7;$$

$$\log_{\frac{1}{2}} x^2 \geq \log_{\frac{1}{2}} 28 — \log_{\frac{1}{2}} 7;$$ $${\log }_{\frac{1}{2}}{x}^2\ge {\log }_{\frac{1}{2}}\frac{28}{7};$$

$$\log_{\frac{1}{2}} x^2 \geq \log_{\frac{1}{2}} \frac{28}{7};$$ $$x^2\le 4;$$

$$x^2 \leq 4;$$ $$-2 \leq x \leq 2;$$

Второе неравенство:

$${\log }_3(4x-1)>0;$$

$$\log_3(4x — 1) > 0;$$ $$4x-1>1;$$

$$4x — 1 > 1;$$ $$4x>2;$$

$$4x > 2;$$ $$x > 0{,}5;$$

Ответ: $x \in (0{,}5;\ 2]$.

а)

$$\left\{ \begin{array}{l} \log_3 x^2 > \log_3 125 — \log_3 5 \\ \log_{0{,}2}(x — 1) < 0 \end{array} \right.$$

Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$$\log_3 x^2 > \log_3 125 — \log_3 5$$

Применим свойство логарифмов:

$$\log_3 a — \log_3 b = \log_3 \left( \frac{a}{b} \right) \Rightarrow \log_3 125 — \log_3 5 = \log_3 \left( \frac{125}{5} \right) = \log_3 25$$

Получаем:

$$\log_3 x^2 > \log_3 25$$

Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства сохраняется:

$$x^2 > 25$$

Решим неравенство:

$$x^2 > 25 \Rightarrow x < -5 \quad \text{или} \quad x > 5$$

Но логарифм $\log_3 x^2$ определён при $x \neq 0$, это уже учтено.

Второе неравенство:

$$\log_{0{,}2}(x — 1) < 0$$

Основание логарифма $0{,}2 < 1$, следовательно, функция убывает, и знак неравенства меняется:

$$x — 1 > 1 \Rightarrow x > 2$$

Теперь находим пересечение решений двух неравенств:

Из первого: $x < -5$ или $x > 5$
Из второго: $x > 2$

Общее решение: $x > 5$

Ответ: $x \in (5;\ +\infty)$

б)

$$\left\{ \begin{array}{l} \log_{\frac{1}{2}} x^2 \geq \log_{\frac{1}{2}} 28 — \log_{\frac{1}{2}} 7 \\ \log_3(4x — 1) > 0 \end{array} \right.$$

Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$$\log_{\frac{1}{2}} x^2 \geq \log_{\frac{1}{2}} 28 — \log_{\frac{1}{2}} 7$$

Используем свойство:

$$\log_b a — \log_b c = \log_b \left( \frac{a}{c} \right) \Rightarrow \log_{\frac{1}{2}} 28 — \log_{\frac{1}{2}} 7 = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{28}{7} \right) = \log_{\frac{1}{2}} 4$$

Получаем:

$$\log_{\frac{1}{2}} x^2 \geq \log_{\frac{1}{2}} 4$$

Основание $\frac{1}{2} < 1$, функция убывает, знак неравенства меняется:

$$x^2 \leq 4$$

Решаем неравенство:

$$-2 \leq x \leq 2$$

Второе неравенство:

$$\log_3(4x — 1) > 0$$

Основание $3 > 1$, функция возрастает, знак сохраняется:

$$4x — 1 > 1 \Rightarrow 4x > 2 \Rightarrow x > \frac{1}{2}$$

Теперь найдём пересечение решений двух неравенств:

Из первого: $x \in [-2;\ 2]$
Из второго: $x > \frac{1}{2}$

Общее решение: $x \in \left( \frac{1}{2};\ 2 \right]$

Ответ: $x \in (0{,}5;\ 2]$