ГДЗ 10-11 Класс Номер 45.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить систему неравенств:

a)

$$\begin{cases} \log_{0,1}(x^2 — 12) < \log_{0,1}(-x) \\ 2^{x-1} > \frac{1}{8} \end{cases}$$

Первое неравенство:
$\log_{0,1}(x^2 — 12) < \log_{0,1}(-x)$;
$x^2 — 12 > -x$;
$x^2 + x — 12 > 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49$, тогда:
$x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3$;
$(x + 4)(x — 3) > 0$;
$x < -4$ или $x > 3$;

Второе неравенство:
$2^{x-1} > \frac{1}{8}$;
$2^{x-1} > 2^{-3}$;
$x — 1 > -3$;
$x > -2$;

Выражение имеет смысл при:
$-x > 0$;
$x < 0$;

Ответ: $x \in \varnothing$.

б)

$$\begin{cases} 3^{x^2 — 5x — 4} < 9 \\ \log_{\frac{1}{5}}(x^2 + 3) \ge \log_{\frac{1}{5}} 4x \end{cases}$$

Первое неравенство:
$3^{x^2 — 5x — 4} < 9$;
$3^{x^2 — 5x — 4} < 3^2$;
$x^2 — 5x — 4 < 2$;
$x^2 — 5x — 6 < 0$;
$D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49$, тогда:
$x_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6$;
$(x + 1)(x — 6) < 0$;
$-1 < x < 6$;

Второе неравенство:
$\log_{\frac{1}{5}}(x^2 + 3) \ge \log_{\frac{1}{5}} 4x$;
$x^2 + 3 \le 4x$;
$x^2 — 4x + 3 \le 0$;
$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$, тогда:
$x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$;
$(x — 1)(x — 3) \le 0$;
$1 \le x \le 3$;

Выражение имеет смысл при:
$x^2 + 3 > 0$;
$x \in \mathbb{R}$;

Ответ: $x \in [1; 3]$.

а)

Решить систему неравенств:

$$\begin{cases} \log_{0,1}(x^2 — 12) < \log_{0,1}(-x) \\ 2^{x — 1} > \dfrac{1}{8} \end{cases}$$

ШАГ 1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Чтобы логарифмы были определены, подлогарифмические выражения должны быть положительными:

• В первом логарифме:

  $$x^2 — 12 > 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 > 12 \quad \Rightarrow \quad x < -\sqrt{12} \quad \text{или} \quad x > \sqrt{12}$$

• Во втором логарифме:

  $$-x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < 0$$

Также из второго неравенства $2^{x — 1} > \frac{1}{8}$ нет ограничений, так как экспонента определена для всех вещественных чисел.

Совместим условия на ОДЗ:

$$x < -\sqrt{12} \quad \text{или} \quad x > \sqrt{12} \quad \text{(из первого логарифма)}$$ $$x < 0 \quad \text{(из второго логарифма)}$$

Объединяя:

$$x \in (-\infty; -\sqrt{12}) \quad \text{(≈ } x < -3.464)$$

ШАГ 2. Решим первое неравенство:

$$\log_{0,1}(x^2 — 12) < \log_{0,1}(-x)$$

Пояснение:

Основание логарифма $0.1 = \frac{1}{10}$ — число, меньшее 1, но больше 0, значит:

• Логарифмическая функция убывающая
• При сравнении логарифмов с одинаковым основанием, знак меняется на противоположный:

$$\log_{0.1}(A) < \log_{0.1}(B) \quad \Leftrightarrow \quad A > B$$

Подставим:

$$x^2 — 12 > -x$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2 + x — 12 > 0$$

Решим квадратное неравенство:

• Найдём дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$

• Корни квадратного уравнения:

$$x_1 = \frac{-1 — \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 — 7}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3$$

• Разложение на множители:

$$(x + 4)(x — 3) > 0$$

• Знаки на промежутках:
  • $x < -4$ → положительное
  • $-4 < x < 3$ → отрицательное
  • $x > 3$ → положительное

Решение неравенства:

$$x < -4 \quad \text{или} \quad x > 3$$

ШАГ 3. Решим второе неравенство:

$$2^{x — 1} > \frac{1}{8}$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac{1}{8} = 2^{-3}$$

Тогда:

$$2^{x — 1} > 2^{-3}$$

Так как основание $2 > 1$, функция возрастает, значит знак сохраняется:

$$x — 1 > -3 \quad \Rightarrow \quad x > -2$$

ШАГ 4. Совместим решения всех условий

Итак, у нас есть:

ОДЗ:

$$x < -\sqrt{12}$$

Из логарифмического неравенства:

$$x < -4 \quad \text{или} \quad x > 3$$

Из показательного неравенства:

$$x > -2$$

ШАГ 5. Пересекаем все условия

Рассмотрим первую часть решения логарифмического неравенства:

$$x < -4$$

Но при этом по условию $x > -2$, а это невозможно, потому что не может одновременно выполняться $x < -4$ и $x > -2$.

Вторая часть: $x > 3$

Но по ОДЗ: $x < -\sqrt{12} \approx -3.464$, а $x > 3$ — противоречит ОДЗ.

Итог

Ни одна из областей, удовлетворяющих частям системы, не пересекается с ОДЗ.

Ответ:

$$x \in \varnothing$$

б)

Решить систему неравенств:

$$\begin{cases} 3^{x^2 — 5x — 4} < 9 \\ \log_{\frac{1}{5}}(x^2 + 3) \ge \log_{\frac{1}{5}}(4x) \end{cases}$$

ШАГ 1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Для логарифмического выражения нужно, чтобы:

• Подлогарифмические выражения были строго положительны.

Проверим:

• $x^2 + 3 > 0$
  Это верно при всех $x \in \mathbb{R}$, так как $x^2 \ge 0$, и $x^2 + 3 \ge 3 > 0$
• $4x > 0 \Rightarrow x > 0$

Значит, ОДЗ:

$$x > 0$$

ШАГ 2. Решим первое неравенство:

$$3^{x^2 — 5x — 4} < 9$$

Запишем 9 как степень числа 3:

$$9 = 3^2$$

Тогда:

$$3^{x^2 — 5x — 4} < 3^2$$

Так как основание логарифма 3 больше 1, функция возрастает, значит неравенство эквивалентно:

$$x^2 — 5x — 4 < 2$$

Переносим 2 влево:

$$x^2 — 5x — 6 < 0$$

Решим квадратное неравенство:

• Дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$$

• Найдём корни:

$$x_1 = \frac{5 — 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

• Разложение на множители:

$$(x + 1)(x — 6) < 0$$

• Знаки на числовой прямой:
  • $x < -1$: положительное
  • $-1 < x < 6$: отрицательное
  • $x > 6$: положительное

Решение:

$$x \in (-1; 6)$$

ШАГ 3. Решим второе неравенство:

$$\log_{\frac{1}{5}}(x^2 + 3) \ge \log_{\frac{1}{5}}(4x)$$

Пояснение:

• Основание логарифма $\frac{1}{5} \in (0; 1)$, функция убывающая
• Поэтому при сравнении логарифмов знак меняется на противоположный:

$$x^2 + 3 \le 4x$$

Переносим всё влево:

$$x^2 — 4x + 3 \le 0$$

Решим квадратное неравенство:

• Дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$

• Найдём корни:

$$x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

• Разложение на множители:

$$(x — 1)(x — 3) \le 0$$

• Знаки:
  • $x < 1$: положительное
  • $1 \le x \le 3$: отрицательное или 0
  • $x > 3$: положительное

Решение:

$$x \in [1; 3]$$

ШАГ 4. Пересекаем все условия

У нас есть три условия:

ОДЗ:
$x > 0$

Из показательного неравенства:
$x \in (-1; 6)$

Из логарифмического неравенства:
$x \in [1; 3]$

Пересекаем все три множества:

• $x > 0$
• $(-1; 6)$
• $[1; 3]$

Совместное пересечение:

$$x \in [1; 3]$$

Итоговый ответ:

$$x \in [1; 3]$$