ГДЗ 10-11 Класс Номер 45.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

a) $\log_5(3x + 1) < 2$;

б) $\log_{0,5}\frac{x}{3} \ge -2$;

в) $\log_{\frac{1}{4}}\frac{x}{5} > 1$;

г) $\log_{\sqrt{3}}(2x — 3) < 4$

Решить неравенство:

a) $\log_5(3x + 1) < 2$;
$\log_5(3x + 1) < \log_5 5^2$;
$0 < 3x + 1 < 25$;
$-1 < 3x < 24$;
$-\frac{1}{3} < x < 8$;
Ответ: $x \in \left(-\frac{1}{3};\ 8\right)$.

б) $\log_{0,5}\frac{x}{3} \ge -2$;
$\log_{\frac{1}{2}}\frac{x}{3} \ge \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$;
$0 < \frac{x}{3} \le 4$;
$0 < x \le 12$;
Ответ: $x \in (0;\ 12]$.

в) $\log_{\frac{1}{4}}\frac{x}{5} > 1$;
$\log_{\frac{1}{4}}\frac{x}{5} > \log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{4}$;
$0 < \frac{x}{5} < \frac{1}{4}$;
$0 < x < 1{,}25$;
Ответ: $x \in (0;\ 1{,}25)$.

г) $\log_{\sqrt{3}}(2x — 3) < 4$;
$\log_{\sqrt{3}}(2x — 3) < \log_{\sqrt{3}}(\sqrt{3})^4$;
$0 < 2x — 3 < 9$;
$3 < 2x < 12$;
$1{,}5 < x < 6$;
Ответ: $x \in (1{,}5;\ 6)$.

а) $\log_5(3x + 1) < 2$

Шаг 1. Основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция возрастает.

При этом:

$$\log_5(3x + 1) < \log_5(5^2) \Rightarrow 3x + 1 < 25$$

Шаг 2. Также, чтобы логарифм существовал:

$$3x + 1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{3}$$

Шаг 3. Решаем двойное неравенство:

$$-1 < 3x < 24 \Rightarrow -\frac{1}{3} < x < 8$$

Ответ:

$$x \in \left(-\frac{1}{3};\ 8\right)$$

б) $\log_{0{,}5} \frac{x}{3} \geq -2$

Шаг 1. Основание $0{,}5 < 1 \Rightarrow$ функция убывает, при этом знак меняется при переходе к подлогарифмическому выражению.

$$\log_{0{,}5} \frac{x}{3} \geq -2 \Rightarrow \frac{x}{3} \leq (0{,}5)^{-2}$$ $$(0{,}5)^{-2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = 2^2 = 4 \Rightarrow \frac{x}{3} \leq 4 \Rightarrow x \leq 12$$

Шаг 2. Учитываем ОДЗ:

$$\frac{x}{3} > 0 \Rightarrow x > 0$$

Ответ:

$$x \in (0;\ 12]$$

в) $\log_{\frac{1}{4}} \frac{x}{5} > 1$

Шаг 1. Основание $\frac{1}{4} < 1 \Rightarrow$ логарифм убывает, значит знак меняется.

$$\log_{\frac{1}{4}} \frac{x}{5} > 1 \Rightarrow \frac{x}{5} < \left( \frac{1}{4} \right)^1 = \frac{1}{4}$$

Шаг 2. Учитываем ОДЗ:

$$\frac{x}{5} > 0 \Rightarrow x > 0$$

Шаг 3. Решаем двойное неравенство:

$$0 < \frac{x}{5} < \frac{1}{4} \Rightarrow 0 < x < \frac{5}{4} = 1{,}25$$

Ответ:

$$x \in (0;\ 1{,}25)$$

г) $\log_{\sqrt{3}}(2x — 3) < 4$

Шаг 1. Основание $\sqrt{3} > 1 \Rightarrow$ логарифмическая функция возрастает, знак сохраняется.

$$\log_{\sqrt{3}}(2x — 3) < \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^4 = \log_{\sqrt{3}} 3^2 = \log_{\sqrt{3}} 9 \Rightarrow 2x — 3 < 9$$

Шаг 2. Учитываем ОДЗ:

$$2x — 3 > 0 \Rightarrow x > \frac{3}{2} = 1{,}5$$

Шаг 3. Решаем двойное неравенство:

$$3 < 2x < 12 \Rightarrow 1{,}5 < x < 6$$

Ответ:

$$x \in (1{,}5;\ 6)$$