ГДЗ 10-11 Класс Номер 45.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить неравенство:

a) $\log_2(5x — 9) \leq \log_2(3x + 1)$;
$5x — 9 \leq 3x + 1$;
$2x \leq 10$;
$x \leq 5$;

Выражение имеет смысл при:
$5x — 9 > 0$;
$5x > 9$;
$x > 1{,}8$;

Ответ: $x \in (1{,}8;\ 5]$.

б) $\log_{0{,}4}(12x + 2) \geq \log_{0{,}4}(10x + 16)$;
$12x + 2 \leq 10x + 16$;
$2x \leq 14$;
$x \leq 7$;

Выражение имеет смысл при:
$12x + 2 > 0$;
$12x > -2$;
$x > -\frac{1}{6}$;

Ответ: $x \in \left( -\frac{1}{6};\ 7 \right]$.

в) $\log_{\frac{1}{3}}(-x) > \log_{\frac{1}{3}}(4 — 2x)$;
$-x < 4 — 2x$;
$x < 4$;

Выражение имеет смысл при:
$-x > 0$;
$x < 0$;

Ответ: $x \in (-\infty;\ 0)$.

г) $\log_{2{,}5}(6 — x) < \log_{2{,}5}(4 — 3x)$;
$6 — x < 4 — 3x$;
$2x < -2$;
$x < -1$;

Выражение имеет смысл при:
$6 — x > 0$;
$x < 6$;

Ответ: $x \in (-\infty;\ -1)$.

а) $\log_2(5x — 9) \leq \log_2(3x + 1)$

Шаг 1. Основание логарифма $2 > 1$

Логарифмическая функция возрастает ⇒ знак неравенства сохраняется:

$$\log_2(5x — 9) \leq \log_2(3x + 1) \Rightarrow 5x — 9 \leq 3x + 1$$

Шаг 2. Решаем неравенство:

$$5x — 3x \leq 1 + 9 \Rightarrow 2x \leq 10 \Rightarrow x \leq 5$$

Шаг 3. Найдём ОДЗ:

Аргументы логарифмов должны быть положительными:

• $5x — 9 > 0 \Rightarrow x > \frac{9}{5} = 1{,}8$
• $3x + 1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{3}$

Из двух условий выбираем более строгое:

$$x > 1{,}8$$

Шаг 4. Объединяем с решением:

• Неравенство: $x \leq 5$
• ОДЗ: $x > 1{,}8$

Итог:

$$x \in (1{,}8;\ 5]$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (1{,}8;\ 5]}$$

б) $\log_{0{,}4}(12x + 2) \geq \log_{0{,}4}(10x + 16)$

Шаг 1. Основание $0{,}4 < 1$, логарифмическая функция убывает

⇒ знак меняется:

$$12x + 2 \leq 10x + 16$$

Шаг 2. Решаем неравенство:

$$2x \leq 14 \Rightarrow x \leq 7$$

Шаг 3. Найдём ОДЗ:

• $12x + 2 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{6}$
• $10x + 16 > 0 \Rightarrow x > -\frac{8}{5} = -1{,}6$

Выбираем строже:

$$x > -\frac{1}{6}$$

Шаг 4. Объединяем с решением:

• Неравенство: $x \leq 7$
• ОДЗ: $x > -\frac{1}{6}$

Итог:

$$x \in \left( -\frac{1}{6};\ 7 \right]$$

Ответ:

$$\boxed{x \in \left( -\frac{1}{6};\ 7 \right]}$$

в) $\log_{\frac{1}{3}}(-x) > \log_{\frac{1}{3}}(4 — 2x)$

Шаг 1. Основание $\frac{1}{3} < 1 \Rightarrow$ функция убывает, знак меняется:

$$-x < 4 — 2x$$

Шаг 2. Решаем:

$$-x + 2x < 4 \Rightarrow x < 4$$

Шаг 3. Найдём ОДЗ:

• $-x > 0 \Rightarrow x < 0$
• $4 — 2x > 0 \Rightarrow x < 2$

Выбираем совместное:

$$x < 0$$

Шаг 4. Объединяем с решением:

• Неравенство: $x < 4$
• ОДЗ: $x < 0$

Совместно:

$$x \in (-\infty;\ 0)$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (-\infty;\ 0)}$$

г) $\log_{2{,}5}(6 — x) < \log_{2{,}5}(4 — 3x)$

Шаг 1. Основание $2{,}5 > 1 \Rightarrow$ логарифмическая функция возрастает, знак сохраняется:

$$6 — x < 4 — 3x$$

Шаг 2. Решаем:

$$6 — 4 < -3x + x \Rightarrow 2 < -2x \Rightarrow x < -1$$

Шаг 3. ОДЗ:

• $6 — x > 0 \Rightarrow x < 6$
• $4 — 3x > 0 \Rightarrow x < \frac{4}{3}$

Итоговое ОДЗ:

$$x < \frac{4}{3}$$

Шаг 4. Объединяем с решением:

• Неравенство: $x < -1$
• ОДЗ: $x < \frac{4}{3}$

Совместно:

$$x \in (-\infty;\ -1)$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (-\infty;\ -1)}$$

Итоги всех пунктов:

а) $\boxed{x \in (1{,}8;\ 5]}$
б) $\boxed{x \in \left( -\frac{1}{6};\ 7 \right]}$
в) $\boxed{x \in (-\infty;\ 0)}$
г) $\boxed{x \in (-\infty;\ -1)}$