ГДЗ 10-11 Класс Номер 45.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\log_8(x^2 — 7x) > 1$;

б) $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 0{,}5x) \leq 1$;

в) $\log_2(x^2 — 6x + 24) < 4$;

г) $\log_{\frac{1}{3}}\left(-x^2 + \frac{10x}{9}\right) \geq 2$

Решить неравенство:

а) $\log_8(x^2 — 7x) > 1$;
$x^2 — 7x > 8$;
$x^2 — 7x — 8 > 0$;
$D = 7^2 + 4 \cdot 8 = 49 + 32 = 81$, тогда:
$x_1 = \frac{7 — 9}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{7 + 9}{2} = 8$;
$(x + 1)(x — 8) > 0$;
$x < -1$ или $x > 8$;
Ответ: $x \in (-\infty;\ -1) \cup (8;\ +\infty)$.

б) $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 0{,}5x) \leq 1$;
$x^2 + 0{,}5x \geq 0{,}5$;
$2x^2 + x — 1 \geq 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:
$x_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$;
$x_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0{,}5$;
$(x + 1)(x — 0{,}5) \geq 0$;
$x \leq -1$ или $x \geq 0{,}5$;
Ответ: $x \in (-\infty;\ -1] \cup [0{,}5;\ +\infty)$.

в) $\log_2(x^2 — 6x + 24) < 4$;
$x^2 — 6x + 24 < 16$;
$x^2 — 6x + 8 < 0$;
$D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$, тогда:
$x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$;
$(x — 2)(x — 4) < 0$;
$2 < x < 4$;

Выражение имеет смысл при:
$x^2 — 6x + 24 > 0$;
$D = 6^2 — 4 \cdot 24 = 36 — 96 = -60$;
$D < 0$, значит $x \in \mathbb{R}$;
Ответ: $x \in (2;\ 4)$.

г) $\log_{\frac{1}{3}}\left(-x^2 + \frac{10x}{9}\right) \geq 2$;
$-x^2 + \frac{10x}{9} \leq \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$;
$9x^2 — 10x + 1 \geq 0$;
$D = 10^2 — 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64$, тогда:
$x_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$;
$x_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1$;
$(x — \frac{1}{9})(x — 1) \geq 0$;
$x \leq \frac{1}{9}$ или $x \geq 1$;

Выражение имеет смысл при:
$-x^2 + \frac{10x}{9} > 0$;
$9x^2 — 10x < 0$;
$x(9x — 10) < 0$;
$0 < x < \frac{10}{9}$;
Ответ: $x \in (0;\ \frac{1}{9}] \cup [1;\ \frac{10}{9})$.

а)

Неравенство:

$$\log_8(x^2 — 7x) > 1$$

Шаг 1. Основание логарифма

Основание $8 > 1$, логарифмическая функция возрастает, поэтому знак не меняется.

$$\log_8(x^2 — 7x) > \log_8 8^1 \Rightarrow x^2 — 7x > 8$$

Шаг 2. Решим квадратное неравенство

$$x^2 — 7x — 8 > 0$$

Дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$$

Корни:

$$x_1 = \frac{7 — 9}{2} = -1,\quad x_2 = \frac{7 + 9}{2} = 8$$

Знак «> 0» между корнями меняется:

$$(x + 1)(x — 8) > 0 \Rightarrow x < -1 \text{ или } x > 8$$

Шаг 3. ОДЗ

Подлогарифмическое выражение должно быть > 0:

$$x^2 — 7x > 0 \Rightarrow x(x — 7) > 0 \Rightarrow x < 0 \text{ или } x > 7$$

Шаг 4. Пересечение с ОДЗ

Решение: $x < -1 \cup x > 8$
ОДЗ: $x < 0 \cup x > 7$

Пересекаем:

• $x < -1$ и $x < 0 \Rightarrow x < -1$
• $x > 8$ и $x > 7 \Rightarrow x > 8$

Ответ:

$$\boxed{x \in (-\infty; -1) \cup (8; +\infty)}$$

б)

Неравенство:

$$\log_{0.5}(x^2 + 0.5x) \leq 1$$

Шаг 1. Основание меньше 1

Функция убывает, знак меняется на противоположный:

$$x^2 + 0.5x \geq (0.5)^1 = 0.5 \Rightarrow x^2 + 0.5x — 0.5 \geq 0 \Rightarrow 2x^2 + x — 1 \geq 0$$

Шаг 2. Решим квадратное неравенство

$$2x^2 + x — 1 \geq 0$$

Дискриминант:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-1 — 3}{4} = -1,\quad x_2 = \frac{-1 + 3}{4} = 0.5$$ $$(x + 1)(x — 0.5) \geq 0 \Rightarrow x \leq -1 \text{ или } x \geq 0.5$$

Шаг 3. ОДЗ

Подлогарифмическое выражение:

$$x^2 + 0.5x > 0 \Rightarrow x(x + 0.5) > 0 \Rightarrow x < -0.5 \text{ или } x > 0$$

Шаг 4. Пересечение

• Решение: $x \leq -1 \cup x \geq 0.5$
• ОДЗ: $x < -0.5 \cup x > 0$

Пересекаем:

• $x \leq -1$ и $x < -0.5 \Rightarrow x \leq -1$
• $x \geq 0.5$ и $x > 0 \Rightarrow x \geq 0.5$

Ответ:

$$\boxed{x \in (-\infty; -1] \cup [0.5; +\infty)}$$

в)

Неравенство:

$$\log_2(x^2 — 6x + 24) < 4$$

Шаг 1. Основание $> 1$, функция возрастает

$$x^2 — 6x + 24 < 2^4 = 16 \Rightarrow x^2 — 6x + 8 < 0$$

Шаг 2. Решим квадратное неравенство

$$D = 36 — 32 = 4 \Rightarrow x_1 = 2,\ x_2 = 4 \Rightarrow (x — 2)(x — 4) < 0 \Rightarrow 2 < x < 4$$

Шаг 3. ОДЗ

Подлогарифмическое выражение должно быть > 0:

$$x^2 — 6x + 24 > 0$$

Это выражение всегда > 0, так как дискриминант отрицателен:

$$D = 36 — 96 = -60 \Rightarrow x^2 — 6x + 24 > 0 \text{ при всех } x \in \mathbb{R}$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (2; 4)}$$

г)

Неравенство:

$$\log_{\frac{1}{3}}\left(-x^2 + \frac{10x}{9}\right) \geq 2$$

Шаг 1. Основание меньше 1 ⇒ функция убывает ⇒ меняем знак:

$$-x^2 + \frac{10x}{9} \leq \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow -x^2 + \frac{10x}{9} \leq \frac{1}{9} \Rightarrow 9x^2 — 10x + 1 \geq 0$$

Шаг 2. Решим квадратное неравенство

$$D = 100 — 36 = 64,\quad x_1 = \frac{10 — 8}{18} = \frac{1}{9},\quad x_2 = \frac{10 + 8}{18} = 1$$ $$(x — \frac{1}{9})(x — 1) \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{1}{9} \text{ или } x \geq 1$$

Шаг 3. ОДЗ

Подлогарифмическое выражение должно быть > 0:

$$-x^2 + \frac{10x}{9} > 0 \Rightarrow 9x^2 — 10x < 0 \Rightarrow x(9x — 10) < 0 \Rightarrow 0 < x < \frac{10}{9}$$

Шаг 4. Пересечение

• Решение: $x \leq \frac{1}{9} \cup x \geq 1$
• ОДЗ: $0 < x < \frac{10}{9}$

Пересекаем:

• $x \leq \frac{1}{9}$ и $0 < x < \frac{10}{9} \Rightarrow x \in (0; \frac{1}{9}]$
• $x \geq 1$ и $x < \frac{10}{9} \Rightarrow x \in [1; \frac{10}{9})$

Ответ:

$$\boxed{x \in (0; \frac{1}{9}] \cup [1; \frac{10}{9})}$$

Все ответы:

а) $\boxed{x \in (-\infty;\ -1) \cup (8;\ +\infty)}$

б) $\boxed{x \in (-\infty;\ -1] \cup [0.5;\ +\infty)}$

в) $\boxed{x \in (2;\ 4)}$

г) $\boxed{x \in (0;\ \frac{1}{9}] \cup [1;\ \frac{10}{9})}$