ГДЗ 10-11 Класс Номер 45.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить неравенство:

а)

$$\log_2^2 x > 4\log_2 x — 3;$$

Пусть $y = \log_2 x$, тогда:

$$y^2 > 4y — 3;$$ $$y^2 — 4y + 3 > 0;$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4,\ \text{тогда:}$$ $$y_1 = \dfrac{4 — 2}{2} = 1\ \text{и}\ y_2 = \dfrac{4 + 2}{2} = 3;$$ $$(y — 1)(y — 3) > 0;$$ $$y < 1\ \text{или}\ y > 3;$$

Первое значение:

$$\log_2 x < 1 \Rightarrow 0 < x < 2;$$

Второе значение:

$$\log_2 x > 3 \Rightarrow x > 8;$$

Ответ:

$$x \in (0;\ 2) \cup (8;\ +\infty).$$

б)

$$\log_{\frac{1}{2}}^2 x + 3\log_{\frac{1}{2}} x < -2;$$

Пусть $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, тогда:

$$y^2 + 3y < -2;$$ $$y^2 + 3y + 2 < 0;$$ $$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1,\ \text{тогда:}$$ $$y_1 = \dfrac{-3 — 1}{2} = -2,\quad y_2 = \dfrac{-3 + 1}{2} = -1;$$ $$(y + 2)(y + 1) < 0 \Rightarrow -2 < y < -1;$$

Первое значение:

$$\log_{\frac{1}{2}} x > -2 \Rightarrow x < 4;$$

Второе значение:

$$\log_{\frac{1}{2}} x < -1 \Rightarrow x > 2;$$

Ответ:

$$x \in (2;\ 4).$$

в)

$$\log_4^2 x + \log_4 x \leq 2;$$

Пусть $y = \log_4 x$, тогда:

$$y^2 + y \leq 2;$$ $$y^2 + y — 2 \leq 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,\ \text{тогда:}$$ $$y_1 = \dfrac{-1 — 3}{2} = -2,\quad y_2 = \dfrac{-1 + 3}{2} = 1;$$ $$(y + 2)(y — 1) \leq 0 \Rightarrow -2 \leq y \leq 1;$$

Первое значение:

$$\log_4 x \geq -2 \Rightarrow x \geq \dfrac{1}{16};$$

Второе значение:

$$\log_4 x \leq 1 \Rightarrow x \leq 4;$$

Ответ:

$$x \in \left[\dfrac{1}{16};\ 4\right].$$

г)

$$\log_{0{,}2}^2 x \geq 6 — \log_{0{,}2} x;$$

Пусть $y = \log_{0{,}2} x$, тогда:

$$y^2 \geq 6 — y \Rightarrow y^2 + y — 6 \geq 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25,\ \text{тогда:}$$ $$y_1 = \dfrac{-1 — 5}{2} = -3,\quad y_2 = \dfrac{-1 + 5}{2} = 2;$$ $$(y + 3)(y — 2) \geq 0 \Rightarrow y \leq -3\ \text{или}\ y \geq 2;$$

Первое значение:

$$\log_{0{,}2} x \leq -3 \Rightarrow x \geq 125;$$

Второе значение:

$$\log_{0{,}2} x \geq 2 \Rightarrow x \leq 0{,}04;$$

Ответ:

$$x \in (0;\ 0{,}04] \cup [125;\ +\infty).$$

а)

Условие:

$$\log_2^2 x > 4 \log_2 x — 3$$

Шаг 1. Замена переменной

Пусть $y = \log_2 x$. Тогда:

$$y^2 > 4y — 3$$

Шаг 2. Приводим к стандартному виду:

$$y^2 — 4y + 3 > 0$$

Шаг 3. Решаем квадратное неравенство

Дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$

Корни:

$$y_1 = \frac{4 — \sqrt{4}}{2} = \frac{4 — 2}{2} = 1,\quad y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

Шаг 4. Решаем неравенство по знакам:

$$(y — 1)(y — 3) > 0 \Rightarrow y < 1\ \text{или}\ y > 3$$

Шаг 5. Возвращаемся к переменной $x$

1) $\log_2 x < 1 \Rightarrow x < 2$

ОДЗ: $x > 0$
⇒ $x \in (0;\ 2)$

2) $\log_2 x > 3 \Rightarrow x > 8$

Ответ:

$$\boxed{x \in (0;\ 2) \cup (8;\ +\infty)}$$

б)

Условие:

$$\log_{\frac{1}{2}}^2 x + 3 \log_{\frac{1}{2}} x < -2$$

Шаг 1. Замена:

Пусть $y = \log_{\frac{1}{2}} x$

Тогда:

$$y^2 + 3y < -2 \Rightarrow y^2 + 3y + 2 < 0$$

Шаг 2. Решаем квадратное неравенство

$$D = 9 — 8 = 1 \Rightarrow y_1 = -2,\ y_2 = -1 \Rightarrow (y + 2)(y + 1) < 0 \Rightarrow -2 < y < -1$$

Шаг 3. Возвращаемся к $x$

Помним: $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, это убывающая функция.

• $\log_{\frac{1}{2}} x > -2 \Rightarrow x < 4$
• $\log_{\frac{1}{2}} x < -1 \Rightarrow x > 2$

Значит:

$$x \in (2;\ 4)$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (2;\ 4)}$$

в)

Условие:

$$\log_4^2 x + \log_4 x \leq 2$$

Шаг 1. Подставим:

Пусть $y = \log_4 x$

$$y^2 + y \leq 2 \Rightarrow y^2 + y — 2 \leq 0$$

Шаг 2. Решаем квадратное неравенство

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 9 \Rightarrow y_1 = -2,\ y_2 = 1 \Rightarrow -2 \leq y \leq 1$$

Шаг 3. Вернёмся к $x$

• $\log_4 x \geq -2 \Rightarrow x \geq 4^{-2} = \frac{1}{16}$
• $\log_4 x \leq 1 \Rightarrow x \leq 4$

Ответ:

$$\boxed{x \in \left[\frac{1}{16};\ 4\right]}$$

г)

Условие:

$$\log_{0.2}^2 x \geq 6 — \log_{0.2} x$$

Шаг 1. Подставим:

Пусть $y = \log_{0.2} x$

$$y^2 + y — 6 \geq 0$$

Шаг 2. Решаем квадратное неравенство

$$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 25 \Rightarrow y_1 = -3,\ y_2 = 2 \Rightarrow (y + 3)(y — 2) \geq 0 \Rightarrow y \leq -3\ \text{или}\ y \geq 2$$

Шаг 3. Вернёмся к $x$

Основание < 1 ⇒ функция убывает:

• $\log_{0.2} x \leq -3 \Rightarrow x \geq 0.2^{-3} = 125$
• $\log_{0.2} x \geq 2 \Rightarrow x \leq 0.2^2 = 0.04$

Ответ:

$$\boxed{x \in (0;\ 0.04] \cup [125;\ +\infty)}$$

Финальные ответы:

а) $\boxed{x \in (0;\ 2) \cup (8;\ +\infty)}$
б) $\boxed{x \in (2;\ 4)}$
в) $\boxed{x \in \left[\frac{1}{16};\ 4\right]}$
г) $\boxed{x \in (0;\ 0.04] \cup [125;\ +\infty)}$