ГДЗ 10-11 Класс Номер 46.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) ${\log }_2\frac{1}{3}+{\log }_{4}9$

б) ${\log }_{\sqrt{3}}3\sqrt{2}+{\log }_3\frac{1}{2}$

в) ${\log }_{25}9-{\log }_{5}3$

г) ${\log }_{16}4-{\log }_{4}8$

Вычислить значение:

а) $\log_2 \frac{1}{3} + \log_4 9 = \log_2 3^{-1} + \log_{2^2} 3^2 = -\log_2 3 + \log_2 3 = 0$;

Ответ: 0.

б) ${\log }_{\sqrt{3}}3\sqrt{2}+{\log }_3\frac{1}{2}={\log }_{(\sqrt{3}{)}^2}(3\sqrt{2}{)}^2+{\log }_3\frac{1}{2}={\log }_{3}18+{\log }_3\frac{1}{2}=$

$\log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{2} + \log_3 \frac{1}{2} = \log_{(\sqrt{3})^2} (3\sqrt{2})^2 + \log_3 \frac{1}{2} = \log_3 18 + \log_3 \frac{1}{2} = \log_3 \left(18 \cdot \frac{1}{2}\right) = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$;

Ответ: 2.

в) $\log_{25} 9 — \log_5 3 = \log_{5^2} 3^2 — \log_5 3 = \log_5 3 — \log_5 3 = 0$;

Ответ: 0.

г) ${\log }_{16}4-{\log }_{4}8={\log }_{4^2}{2}^2-{\log }_{4}8={\log }_{4}2-{\log }_{4}8={\log }_4\frac{2}{8}={\log }_4\frac{1}{4}=$

$\log_{16} 4 — \log_4 8 = \log_{4^2} 2^2 — \log_4 8 = \log_4 2 — \log_4 8 = \log_4 \frac{2}{8} = \log_4 \frac{1}{4} = \log_4 4^{-1} = -1$;

Ответ: $-1$.

а)

$$\log_2 \frac{1}{3} + \log_4 9$$

Шаг 1. Преобразуем логарифмы к одному основанию.

• $\log_2 \frac{1}{3}$ оставим как есть.
• Преобразуем $\log_4 9$ к основанию 2, используя формулу:

$$\log_b a = \frac{\log_k a}{\log_k b}$$

Здесь $\log_4 9 = \frac{\log_2 9}{\log_2 4}$

$$\log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2, \quad \log_2 9 = \log_2 (3^2) = 2 \log_2 3$$

Тогда:

$$\log_4 9 = \frac{2 \log_2 3}{2} = \log_2 3$$

Теперь считаем:

$$\log_2 \frac{1}{3} + \log_4 9 = \log_2 \left(\frac{1}{3}\right) + \log_2 3$$ $$\log_2 \left(\frac{1}{3}\right) = \log_2 3^{-1} = -\log_2 3$$ $$-\log_2 3 + \log_2 3 = 0$$

Ответ: 0

б)

$$\log_{\sqrt{3}} (3\sqrt{2}) + \log_3 \frac{1}{2}$$

Шаг 1. Преобразуем логарифм с корнем в основании.

$$\log_{\sqrt{3}} (3\sqrt{2}) = \frac{\log_3 (3\sqrt{2})}{\log_3 \sqrt{3}} = \frac{\log_3 (3\sqrt{2})}{\log_3 3^{1/2}} = \frac{\log_3 (3\sqrt{2})}{\frac{1}{2}} = 2 \log_3 (3\sqrt{2})$$

Шаг 2. Раскроем логарифм произведения:

$$\log_3 (3\sqrt{2}) = \log_3 3 + \log_3 \sqrt{2} = 1 + \log_3 2^{1/2} = 1 + \frac{1}{2} \log_3 2$$

Тогда:

$$2 \log_3 (3\sqrt{2}) = 2 \left(1 + \frac{1}{2} \log_3 2\right) = 2 + \log_3 2$$

Шаг 3. Прибавим второй логарифм:

$$\log_3 \frac{1}{2} = \log_3 2^{-1} = -\log_3 2$$

Теперь:

$$(2 + \log_3 2) + (-\log_3 2) = 2$$

Ответ: 2

в)

$$\log_{25} 9 — \log_5 3$$

Шаг 1. Представим 25 как $5^2$, а 9 как $3^2$:

$$\log_{5^2} 3^2 = \frac{\log_5 3^2}{\log_5 5^2}$$

• $\log_5 3^2 = 2 \log_5 3$
• $\log_5 5^2 = 2$

$$\log_{25} 9 = \frac{2 \log_5 3}{2} = \log_5 3$$

Теперь:

$$\log_5 3 — \log_5 3 = 0$$

Ответ: 0

г)

$$\log_{16} 4 — \log_4 8$$

Шаг 1. Представим 16 как $4^2$, 4 как $2^2$, 8 как $2^3$:

$$\log_{4^2} 2^2 = \frac{\log_4 2^2}{\log_4 4^2} = \frac{2 \log_4 2}{2} = \log_4 2$$

Теперь:

$$\log_4 2 — \log_4 8$$

**Шаг 2. Раскроем:

• $\log_4 8 = \log_4 2^3 = 3 \log_4 2$

$$\log_4 2 — 3 \log_4 2 = -2 \log_4 2$$

Но мы ошиблись: изначально:

$$\log_4 2 — \log_4 8 = \log_4 \left( \frac{2}{8} \right) = \log_4 \left( \frac{1}{4} \right) = \log_4 4^{-1} = -1$$

Ответ: $-1$

Итоги:

а) Ответ: 0
б) Ответ: 2
в) Ответ: 0
г) Ответ: $-1$