ГДЗ 10-11 Класс Номер 46.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что ${\log }_{2}3=a$. Найдите:

а) ${\log }_{3}2$

б) ${\log }_3\frac{1}{2}$

в) ${\log }_{3}4$

г) ${\log }_3\frac{1}{4}$

Известно, что: $\log_2 3 = a$;

а) $\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3} = \frac{1}{a}$;
Ответ: $\frac{1}{a}$.

б) $\log_3 \frac{1}{2} = \log_3 2^{-1} = -\log_3 2 = -\frac{1}{\log_2 3} = -\frac{1}{a}$;
Ответ: $-\frac{1}{a}$.

в) $\log_3 4 = \log_3 2^2 = 2\log_3 2 = 2 \cdot \frac{1}{\log_2 3} = \frac{2}{a}$;
Ответ: $\frac{2}{a}$.

г) $\log_3 \frac{1}{4} = \log_3 2^{-2} = -2\log_3 2 = -2 \cdot \frac{1}{\log_2 3} = -\frac{2}{a}$;
Ответ: $-\frac{2}{a}$.

Дано:

$$\log_2 3 = a$$

Найти значения выражений через $a$.

а) Выразить $\log_3 2$

Шаг 1. Используем формулу смены основания:

$$\log_b a = \frac{1}{\log_a b} \quad \text{или} \quad \log_b a = \frac{\log_k a}{\log_k b}$$

Применим первую версию:

$$\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3}$$

Шаг 2. Подставим по условию:

$$\log_2 3 = a \Rightarrow \log_3 2 = \frac{1}{a}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{a}}$$

б) Выразить $\log_3 \frac{1}{2}$

Шаг 1. Представим дробь как степень:

$$\log_3 \frac{1}{2} = \log_3 (2^{-1})$$

Шаг 2. Вынесем показатель степени:

$$\log_3 (2^{-1}) = -\log_3 2$$

Шаг 3. Используем результат из пункта а):

$$\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3} = \frac{1}{a}$$

Тогда:

$$-\log_3 2 = -\frac{1}{a}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{1}{a}}$$

в) Выразить $\log_3 4$

Шаг 1. Представим 4 как степень двойки:

$$4 = 2^2 \Rightarrow \log_3 4 = \log_3 (2^2)$$

Шаг 2. Вынесем степень перед логарифмом:

$$\log_3 (2^2) = 2 \log_3 2$$

Шаг 3. Подставим выражение для $\log_3 2$:

$$2 \cdot \log_3 2 = 2 \cdot \frac{1}{a} = \frac{2}{a}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{2}{a}}$$

г) Выразить $\log_3 \frac{1}{4}$

Шаг 1. Представим дробь как степень:

$$\frac{1}{4} = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}$$ $$\log_3 \frac{1}{4} = \log_3 (2^{-2})$$

Шаг 2. Вынесем показатель степени:

$$\log_3 (2^{-2}) = -2 \log_3 2$$

Шаг 3. Подставим значение $\log_3 2 = \frac{1}{a}$:

$$-2 \cdot \log_3 2 = -2 \cdot \frac{1}{a} = -\frac{2}{a}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{2}{a}}$$