ГДЗ 10-11 Класс Номер 46.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что ${\log }_{5}2=b$. Найдите:

а) ${\log }_{2}25$

б) ${\log }_2\frac{1}{25}$

в) ${\log }_{2}125$

г) ${\log }_2\frac{1}{625}$

Известно, что: $\log_5 2 = b$;

а) $\log_2 25 = \log_2 5^2 = 2\log_2 5 = 2 \cdot \frac{1}{\log_5 2} = \frac{2}{b}$;
Ответ: $\frac{2}{b}$.

б) $\log_2 \frac{1}{25} = \log_2 5^{-2} = -2\log_2 5 = -2 \cdot \frac{1}{\log_5 2} = -\frac{2}{b}$;
Ответ: $-\frac{2}{b}$.

в) $\log_2 125 = \log_2 5^3 = 3\log_2 5 = 3 \cdot \frac{1}{\log_5 2} = \frac{3}{b}$;
Ответ: $\frac{3}{b}$.

г) $\log_2 \frac{1}{625} = \log_2 5^{-4} = -4\log_2 5 = -4 \cdot \frac{1}{\log_5 2} = -\frac{4}{b}$;
Ответ: $-\frac{4}{b}$.

Дано:

$$\log_5 2 = b$$

Найти значения следующих логарифмических выражений через $b$.

а) Найти $\log_2 25$

Шаг 1. Представим 25 как степень 5:

$$\log_2 25 = \log_2(5^2)$$

Шаг 2. Вынесем степень:

$$\log_2(5^2) = 2 \log_2 5$$

Шаг 3. Преобразуем $\log_2 5$ через обратную формулу:

$$\log_2 5 = \frac{1}{\log_5 2}$$

По условию: $\log_5 2 = b \Rightarrow \log_2 5 = \frac{1}{b}$

Шаг 4. Подставим:

$$2 \log_2 5 = 2 \cdot \frac{1}{b} = \frac{2}{b}$$

Ответ: $\boxed{\frac{2}{b}}$

б) Найти $\log_2 \frac{1}{25}$

Шаг 1. Представим дробь как отрицательную степень:

$$\frac{1}{25} = 25^{-1} = (5^2)^{-1} = 5^{-2}$$ $$\log_2 \frac{1}{25} = \log_2 (5^{-2})$$

Шаг 2. Вынесем степень за знак логарифма:

$$\log_2 (5^{-2}) = -2 \log_2 5$$

Шаг 3. Как и ранее:

$$\log_2 5 = \frac{1}{\log_5 2} = \frac{1}{b}$$

Шаг 4. Подставим:

$$-2 \cdot \log_2 5 = -2 \cdot \frac{1}{b} = -\frac{2}{b}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -\frac{2}{b}}}$

в) Найти $\log_2 125$

Шаг 1. Представим 125 как степень числа 5:

$$125 = 5^3 \Rightarrow \log_2 125 = \log_2 (5^3)$$

Шаг 2. Вынесем степень:

$$\log_2 (5^3) = 3 \log_2 5$$

Шаг 3. Выразим $\log_2 5$ через $b$:

$$\log_2 5 = \frac{1}{b}$$

Шаг 4. Подставим:

$$3 \cdot \frac{1}{b} = \frac{3}{b}$$

Ответ: $\boxed{\frac{3}{b}}$

г) Найти $\log_2 \frac{1}{625}$

Шаг 1. Представим дробь как степень:

$$625 = 5^4 \Rightarrow \frac{1}{625} = 5^{-4}$$ $$\log_2 \frac{1}{625} = \log_2 (5^{-4})$$

Шаг 2. Вынесем степень:

$$\log_2 (5^{-4}) = -4 \log_2 5$$

Шаг 3. Как раньше:

$$\log_2 5 = \frac{1}{b}$$

Шаг 4. Подставим:

$$-4 \cdot \frac{1}{b} = -\frac{4}{b}$$

Ответ: $\boxed{-\frac{4}{b}}$