ГДЗ 10-11 Класс Номер 46.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сравните числа:

а) $\log_2 7$ и $\log_7 4$;

б) $\log_6 9$ и $\log_9 8$;

в) $\log_3 5$ и $\log_5 4$;

г) $\log_{11} 14$ и $\log_{14} 13$

Сравнить числа:

а) $\log_2 7$ и $\log_7 4$;
$\log_2 7 > 1$;
$\log_7 4 < 1$;
Ответ: $\log_2 7 > \log_7 4$.

б) $\log_6 9$ и $\log_9 8$;
$\log_6 9 > 1$;
$\log_9 8 < 1$;
Ответ: $\log_6 9 > \log_9 8$.

в) $\log_3 5$ и $\log_5 4$;
$\log_3 5 > 1$;
$\log_5 4 < 1$;
Ответ: $\log_3 5 > \log_5 4$.

г) $\log_{11} 14$ и $\log_{14} 13$;
$\log_{11} 14 > 1$;
$\log_{14} 13 < 1$;
Ответ: $\log_{11} 14 > \log_{14} 13$.

Для сравнения чисел вида $\log_b a$, удобно помнить:

• Если $a > b$, то $\log_b a > 1$;
• Если $a < b$, то $\log_b a < 1$;
• Также полезна формула:

  $$\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$$

  Это позволяет сравнивать логарифмы с «переставленными» основанием и аргументом.

а) Сравнить $\log_2 7$ и $\log_7 4$

Шаг 1. Оценим значение логарифма $\log_2 7$

Ищем степень 2, при которой получится 7:

• $2^2 = 4$
• $2^3 = 8$

Значит:

$$2^2 < 7 < 2^3 \Rightarrow 2 < \log_2 7 < 3$$

То есть:

$$\log_2 7 > 1$$

Шаг 2. Оценим значение логарифма $\log_7 4$

Поскольку $4 < 7$, то:

$$\log_7 4 < 1$$

Шаг 3. Сравнение:

$$\log_2 7 > 1 > \log_7 4 \Rightarrow \log_2 7 > \log_7 4$$

Ответ: $\boxed{\log_2 7 > \log_7 4}$

б) Сравнить $\log_6 9$ и $\log_9 8$

Шаг 1. $\log_6 9$

Поскольку $9 > 6$, то:

$$\log_6 9 > 1$$

Шаг 2. $\log_9 8$

Поскольку $8 < 9$, то:

$$\log_9 8 < 1$$

Шаг 3. Сравнение:

$$\log_6 9 > 1 > \log_9 8 \Rightarrow \log_6 9 > \log_9 8$$

Ответ: $\boxed{\log_6 9 > \log_9 8}$

в) Сравнить $\log_3 5$ и $\log_5 4$

Шаг 1. $\log_3 5$

Так как $5 > 3$, то:

$$\log_3 5 > 1$$

Шаг 2. $\log_5 4$

Так как $4 < 5$, то:

$$\log_5 4 < 1$$

Шаг 3. Сравнение:

$$\log_3 5 > 1 > \log_5 4 \Rightarrow \log_3 5 > \log_5 4$$

Ответ: $\boxed{\log_3 5 > \log_5 4}$

г) Сравнить $\log_{11} 14$ и $\log_{14} 13$

Шаг 1. $\log_{11} 14$

Поскольку $14 > 11$, то:

$$\log_{11} 14 > 1$$

Шаг 2. $\log_{14} 13$

Поскольку $13 < 14$, то:

$$\log_{14} 13 < 1$$

Шаг 3. Сравнение:

$$\log_{11} 14 > 1 > \log_{14} 13 \Rightarrow \log_{11} 14 > \log_{14} 13$$

Ответ: $\boxed{\log_{11} 14 > \log_{14} 13}$