ГДЗ 10-11 Класс Номер 46.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\log_4 x + \log_{16} x + \log_2 x = 7$;

б) $\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} x = 6$

Решить уравнение:

а) $\log_4 x + \log_{16} x + \log_2 x = 7$;
$\log_2^2 x + \log_2^4 x + \log_2 x = 7$;
$\frac{1}{2}\log_2 x + \frac{1}{4}\log_2 x + \log_2 x = 7$;
$\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + 1\right) \cdot \log_2 x = 7$;
$\frac{7}{4} \cdot \log_2 x = 7$;
$\log_2 x = 4$;
$x = 2^4 = 16$;
Ответ: 16.

б) $\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} x = 6$;
$\log_3 x + \log_{3^{\frac{1}{2}}} x + \log_{3^{-1}} x = 6$;
$\log_3 x + 2\log_3 x — \log_3 x = 6$;
$2\log_3 x = 6$;
$\log_3 x = 3$;
$x = 3^3 = 27$;
Ответ: 27.

а) Уравнение:

$$\log_4 x + \log_{16} x + \log_2 x = 7$$

Шаг 1. Приведем все логарифмы к одному основанию — 2.

Используем формулу:

$$\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}$$

Применим к каждому логарифму:

• $\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2} = \frac{1}{2} \log_2 x$
• $\log_{16} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 16} = \frac{\log_2 x}{4} = \frac{1}{4} \log_2 x$
• $\log_2 x$ оставим без изменений.

Шаг 2. Подставим всё в уравнение:

$$\frac{1}{2} \log_2 x + \frac{1}{4} \log_2 x + \log_2 x = 7$$

Шаг 3. Приведем подобные:

Сложим коэффициенты:

$$\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + 1 \right) \log_2 x = 7$$ $$\left( \frac{2}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4} \right) \log_2 x = \frac{7}{4} \log_2 x = 7$$

Шаг 4. Решим полученное уравнение:

$$\frac{7}{4} \log_2 x = 7$$

Умножим обе части на $\frac{4}{7}$:

$$\log_2 x = 4$$

Шаг 5. Преобразуем логарифмическое уравнение в показательное:

$$x = 2^4 = 16$$

Ответ: $\boxed{16}$

б) Уравнение:

$$\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} x = 6$$

Шаг 1. Преобразуем все логарифмы к основанию 3.

Первый логарифм:

$$\log_3 x \quad \text{(оставляем без изменений)}$$

Второй логарифм:

$$\log_{\sqrt{3}} x = \log_{3^{1/2}} x$$

Используем формулу:

$$\log_{b^r} x = \frac{1}{r} \log_b x \quad \Rightarrow \quad \log_{3^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} \log_3 x = 2 \log_3 x$$

Третий логарифм:

$$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = \frac{1}{-1} \log_3 x = -\log_3 x$$

Шаг 2. Подставим в исходное уравнение:

$$\log_3 x + 2 \log_3 x — \log_3 x = 6$$

Шаг 3. Сложим:

$$(1 + 2 — 1) \log_3 x = 2 \log_3 x = 6$$

Шаг 4. Разделим обе части на 2:

$$\log_3 x = 3$$

Шаг 5. Переведем в показательную форму:

$$x = 3^3 = 27$$

Ответ: $\boxed{27}$