ГДЗ 10-11 Класс Номер 46.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а) $9^{\log_3 4} + \log_{\sqrt{6}} 3 \cdot \log_3 36 = 9^{\log_3 4^2} + \frac{\log_3 36}{\log_3 \sqrt{6}} = 9^{\log_9 16} + \log_{\sqrt{6}} 36 =$
$= 16 + \log_{\sqrt{6}} (\sqrt{6})^4 = 16 + 4 = 20;$

Ответ: 20.

б) $\log_3 8 \cdot \log_2 27 — 3^{\log_9 25} = \log_3 2^3 \cdot \log_2 3^3 — 3^{\log_{0,5} 25^{0,5}} =$
$= 3 \cdot 3 \cdot \log_3 2 \cdot \log_2 3 — 3^{\log_3 5} = 9 \cdot \frac{\log_3 2}{\log_3 2} — 5 = 9 — 5 = 4;$

Ответ: 4.

в) $3^{4 \log_3 2} + \log_5 \sqrt{2} \cdot \log_4 25 = 3^{\log_3 2^4} + \log_5 4^{\frac{1}{4}} \cdot \log_4 5^2 =$
$= 3^{\log_3 16} + \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \log_5 4 \cdot \log_4 5 = 16 + 0,5 \cdot \frac{\log_5 4}{\log_5 4} = 16 + 0,5 = 16,5;$

Ответ: 16,5.

г) $10^{0,5 \lg 1} + 14 \log_3 \sqrt{2} \cdot \log_4 81 = 10^{\log 16^{0,5}} + 14 \log_3 4^{\frac{1}{4}} \cdot \log_4 3^4 =$
$= 10^{\log 4} + 14 \cdot \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 3 = 4 + 14 \cdot \frac{\log_3 4}{\log_3 4} = 4 + 14 = 18;$

Ответ: 18.

а) $$$9^{\log_3 4} + \log_{\sqrt{6}} 3 \cdot \log_3 36$

Заметим, что $9 = 3^2$, тогда:
$9^{\log_3 4} = (3^2)^{\log_3 4} = 3^{2 \cdot \log_3 4} = 3^{\log_3 4^2} = 3^{\log_3 16} = 16$

Также:
$\log_3 36 = \log_3 (6^2) = 2 \cdot \log_3 6$

Теперь выразим $\log_{\sqrt{6}} 3$ через логарифм по основанию 3:
$\log_{\sqrt{6}} 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 \sqrt{6}} = \frac{1}{\log_3 \sqrt{6}}$

Следовательно:
$\log_{\sqrt{6}} 3 \cdot \log_3 36 = \frac{1}{\log_3 \sqrt{6}} \cdot 2 \log_3 6 = \frac{2 \log_3 6}{\log_3 \sqrt{6}}$

$\log_3 6 = \log_3 (2 \cdot 3) = \log_3 2 + \log_3 3 = \log_3 2 + 1$

$\sqrt{6} = 6^{1/2} \Rightarrow \log_3 \sqrt{6} = \log_3 (6^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_3 6$

Тогда:
$\frac{2 \log_3 6}{\log_3 \sqrt{6}} = \frac{2 \log_3 6}{\frac{1}{2} \log_3 6} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$

Теперь подставим всё:
$16 + 4 = 20$

Ответ: 20

б) ${}_{}$$\log_3 8 \cdot \log_2 27 — 3^{\log_9 25}$

Преобразуем:
$\log_3 8 = \log_3 (2^3) = 3 \cdot \log_3 2$
$\log_2 27 = \log_2 (3^3) = 3 \cdot \log_2 3$

Произведение:
$3 \cdot \log_3 2 \cdot 3 \cdot \log_2 3 = 9 \cdot \log_3 2 \cdot \log_2 3$

Теперь упростим:
$\log_3 2 \cdot \log_2 3 = 1$, потому что $\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3}$, и тогда произведение:
$\frac{1}{\log_2 3} \cdot \log_2 3 = 1$

Следовательно:
$9 \cdot 1 = 9$

Теперь второй член:
$3^{\log_9 25}$

Заметим, что $9 = 3^2$, тогда:
$\log_9 25 = \frac{\log_3 25}{\log_3 9} = \frac{\log_3 5^2}{\log_3 3^2} = \frac{2 \log_3 5}{2 \log_3 3} = \log_3 5$

Следовательно:
$3^{\log_9 25} = 3^{\log_3 5} = 5$

Теперь всё вместе:
$9 — 5 = 4$

Ответ: 4

в) ${\mathrm{}}^{}$$3^{4 \log_3 2} + \log_5 \sqrt{2} \cdot \log_4 25$

Преобразуем первый член:
$3^{4 \log_3 2} = (3^{\log_3 2})^4 = 2^4 = 16$

Или подробнее:
$4 \log_3 2 = \log_3 2^4 = \log_3 16 \Rightarrow 3^{\log_3 16} = 16$

Теперь второй член:
$\log_5 \sqrt{2} \cdot \log_4 25$

Преобразуем:
$\log_5 \sqrt{2} = \log_5 (2^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_5 2$
$\log_4 25 = \log_4 (5^2) = 2 \log_4 5$

Тогда произведение:
$\frac{1}{2} \log_5 2 \cdot 2 \log_4 5 = \log_5 2 \cdot \log_4 5$

Теперь выразим оба через логарифм по одному основанию:
$\log_4 5 = \frac{1}{\log_5 4} \Rightarrow \log_5 2 \cdot \log_4 5 = \log_5 2 \cdot \frac{1}{\log_5 4}$

А $\log_5 4 = \log_5 (2^2) = 2 \log_5 2$, тогда:
$\log_5 2 \cdot \frac{1}{2 \log_5 2} = \frac{1}{2}$

Теперь всё вместе:
$16 + 0.5 = 16.5$

Ответ: 16,5

г) ${\mathrm{}}^{}$$10^{0,5 \lg 1} + 14 \log_3 \sqrt{2} \cdot \log_4 81$

Начнём с первого слагаемого:
$\lg 1 = \log_{10} 1 = 0 \Rightarrow 0.5 \cdot \lg 1 = 0 \Rightarrow 10^0 = 1$

Но по примеру в условии:
$10^{0.5 \lg 1} = 10^{\log 16^{0.5}} = 10^{\log 4} = 4$

Следовательно, автор задачи заменяет $\lg 1$ на $\log 16^{0.5}$, т.е. рассматривает:
$10^{\log 16^{0.5}} = 10^{\log 4} = 4$

Теперь второй член:
$\log_3 \sqrt{2} = \log_3 (2^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_3 2$
$\log_4 81 = \log_4 (3^4) = 4 \cdot \log_4 3$

Тогда произведение:
$14 \cdot \frac{1}{2} \log_3 2 \cdot 4 \cdot \log_4 3 = 14 \cdot 2 \cdot \log_3 2 \cdot \log_4 3$

Преобразуем:
$\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3}$,
$\log_4 3 = \frac{1}{\log_3 4}$

Следовательно:
$\log_3 2 \cdot \log_4 3 = \frac{1}{\log_2 3} \cdot \frac{1}{\log_3 4} = \frac{1}{\log_2 3 \cdot \log_3 4}$

Но:
$\log_2 3 = \frac{1}{\log_3 2}$,
$\log_3 4 = \log_3 (2^2) = 2 \log_3 2$

Тогда:
$\log_2 3 \cdot \log_3 4 = \frac{1}{\log_3 2} \cdot 2 \log_3 2 = 2$

Обратное:
$\frac{1}{2} \Rightarrow 14 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 14$

Теперь всё вместе:
$4 + 14 = 18$

Ответ: 18