ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Написать уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$:

а) $y = e^{3x — 1}$, $a = \frac{1}{3}$

Значение функции:

$$y\left(\frac{1}{3}\right) = e^{3 \cdot \frac{1}{3} — 1} = e^{1 — 1} = e^0 = 1$$

Значение производной:

$$y'(x) = (e^{3x — 1})’ = 3e^{3x — 1}$$ $$y’\left(\frac{1}{3}\right) = 3e^{3 \cdot \frac{1}{3} — 1} = 3e^0 = 3$$

Уравнение касательной:

$$y = y(a) + y'(a)(x — a)$$ $$y = 1 + 3\left(x — \frac{1}{3}\right) = 1 + 3x — 1 = 3x$$

Ответ: $\boxed{y = 3x}$

б) $y = xe^{-2x + 1}$, $a = 0{,}5$

Значение функции:

$$y(0{,}5) = 0{,}5 \cdot e^{-2 \cdot 0{,}5 + 1} = 0{,}5 \cdot e^{-1 + 1} = 0{,}5e^0 = 0{,}5$$

Значение производной:
Применим правило производной произведения:

$$y'(x) = (x)’ \cdot e^{-2x + 1} + x \cdot (e^{-2x + 1})’$$ $$y'(x) = 1 \cdot e^{-2x + 1} + x \cdot (-2e^{-2x + 1}) = e^{-2x + 1}(1 — 2x)$$

В точке $x = 0{,}5$:

$$y'(0{,}5) = e^0 \cdot (1 — 1) = 1 \cdot 0 = 0$$

Уравнение касательной:

$$y = y(a) + y'(a)(x — a) = 0{,}5 + 0 \cdot (x — 0{,}5) = 0{,}5$$

Ответ: $\boxed{y = 0{,}5}$

в) $y = \dfrac{2}{e^x}$, $a = 0$

Значение функции:

$$y(0) = \frac{2}{e^0} = \frac{2}{1} = 2$$

Значение производной:

$$y'(x) = 2 \cdot \left(\frac{1}{e^x}\right)’ = 2 \cdot (e^{-x})’ = 2 \cdot (-e^{-x}) = -2e^{-x}$$ $$y'(0) = -2e^0 = -2$$

Уравнение касательной:

$$y = y(a) + y'(a)(x — a) = 2 — 2(x — 0) = 2 — 2x$$

Ответ: $\boxed{y = 2 — 2x}$

г) $y = \dfrac{e^x}{x + 1}$, $a = 0$

Значение функции:

$$y(0) = \frac{e^0}{0 + 1} = \frac{1}{1} = 1$$

Значение производной:
Применим правило производной дроби:

$$y'(x) = \frac{(e^x)’ \cdot (x + 1) — e^x \cdot (x + 1)’}{(x + 1)^2}$$ $$y'(x) = \frac{e^x(x + 1) — e^x \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{xe^x + e^x — e^x}{(x + 1)^2} = \frac{xe^x}{(x + 1)^2}$$

В точке $x = 0$:

$$y'(0) = \frac{0 \cdot e^0}{(0 + 1)^2} = \frac{0}{1} = 0$$

Уравнение касательной:

$$y = y(a) + y'(a)(x — a) = 1 + 0 \cdot (x — 0) = 1$$

Ответ: $\boxed{y = 1}$

Формула уравнения касательной:

Касательная к графику функции $y = f(x)$ в точке $x = a$ задаётся формулой:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Где:

• $f(a)$ — значение функции в точке $x = a$;
• $f'(a)$ — производная функции в этой точке (угловой коэффициент касательной).

а) $y = e^{3x — 1}, \quad a = \dfrac{1}{3}$

Шаг 1. Вычислим значение функции в точке:

$$f\left(\frac{1}{3}\right) = e^{3 \cdot \frac{1}{3} — 1} = e^{1 — 1} = e^0 = 1$$

Шаг 2. Найдём производную функции:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{3x — 1}) = 3e^{3x — 1}$$

Шаг 3. Вычислим значение производной в точке:

$$f’\left(\frac{1}{3}\right) = 3e^{3 \cdot \frac{1}{3} — 1} = 3e^0 = 3$$

Шаг 4. Подставим в формулу касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a) = 1 + 3\left(x — \frac{1}{3}\right)$$

Шаг 5. Упростим выражение:

$$y = 1 + 3x — 1 = 3x$$

Ответ: $\boxed{y = 3x}$

б) $y = xe^{-2x + 1}, \quad a = 0{,}5$

Шаг 1. Найдём значение функции в точке:

$$f(0{,}5) = 0{,}5 \cdot e^{-2 \cdot 0{,}5 + 1} = 0{,}5 \cdot e^{-1 + 1} = 0{,}5 \cdot e^0 = 0{,}5$$

Шаг 2. Найдём производную по правилу произведения:

$$f'(x) = (x)’ \cdot e^{-2x + 1} + x \cdot (e^{-2x + 1})’$$ $$f'(x) = 1 \cdot e^{-2x + 1} + x \cdot (-2e^{-2x + 1}) = e^{-2x + 1}(1 — 2x)$$

Шаг 3. Найдём значение производной в точке:

$$f'(0{,}5) = e^{-2 \cdot 0{,}5 + 1}(1 — 2 \cdot 0{,}5) = e^0 \cdot (1 — 1) = 1 \cdot 0 = 0$$

Шаг 4. Подставим в формулу касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a) = 0{,}5 + 0 \cdot (x — 0{,}5) = 0{,}5$$

Ответ: $\boxed{y = 0{,}5}$

в) $y = \dfrac{2}{e^x}, \quad a = 0$

Шаг 1. Найдём значение функции в точке:

$$f(0) = \frac{2}{e^0} = \frac{2}{1} = 2$$

Шаг 2. Найдём производную функции:
Запишем $f(x) = 2e^{-x}$

$$f'(x) = 2 \cdot (-e^{-x}) = -2e^{-x}$$

Шаг 3. Значение производной в точке:

$$f'(0) = -2e^0 = -2 \cdot 1 = -2$$

Шаг 4. Подставим в формулу касательной:

$$y = f(0) + f'(0)(x — 0) = 2 — 2x$$

Ответ: $\boxed{y = 2 — 2x}$

г) $y = \dfrac{e^x}{x + 1}, \quad a = 0$

Шаг 1. Значение функции в точке:

$$f(0) = \frac{e^0}{0 + 1} = \frac{1}{1} = 1$$

Шаг 2. Найдём производную по правилу дроби:

Пусть $u(x) = e^x$, $v(x) = x + 1$, тогда:

$$f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) — u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}$$ $$f'(x) = \frac{e^x(x + 1) — e^x \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{xe^x}{(x + 1)^2}$$

Шаг 3. Значение производной в точке:

$$f'(0) = \frac{0 \cdot e^0}{(0 + 1)^2} = \frac{0}{1} = 0$$

Шаг 4. Подставим в формулу касательной:

$$y = f(0) + f'(0)(x — 0) = 1 + 0 \cdot x = 1$$

Ответ: $\boxed{y = 1}$

Итоги:

а) $y = 3x$

б) $y = 0{,}5$

в) $y = 2 — 2x$

г) $y = 1$