ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y=x^2{e}^x$ на заданном отрезке:

а) [-1; 1];

б) [-3; 1];

в) [-3; -1];

г) [1; 3].

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^2 e^x$;

Производная функции:
$y'(x) = (x^2)’ \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)’$;
$y'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = x e^x (2 + x)$;

Промежуток возрастания:
$x e^x (2 + x) \geq 0$;
$x(x + 2) \geq 0$;
$x \leq -2$ или $x \geq 0$;

Точки экстремума:
$x_1 = -2, \; x_2 = 0$;

а) На отрезке $[-1; 1]$:
$y(-1) = (-1)^2 \cdot e^{-1} = 1 \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{e}$;
$y(0) = 0^2 \cdot e^0 = 0 \cdot 1 = 0$;
$y(1) = 1^2 \cdot e^1 = 1 \cdot e = e$;
Ответ: $0; \; e$.

б) На отрезке $[-3; 1]$:
$y(-3) = (-3)^2 \cdot e^{-3} = 9 \cdot \frac{1}{e^3} = \frac{9}{e^3}$;
$y(-2) = (-2)^2 \cdot e^{-2} = 4 \cdot \frac{1}{e^2} = \frac{4}{e^2}$;
$y(0) = 0^2 \cdot e^0 = 0 \cdot 1 = 0$;
$y(1) = 1^2 \cdot e^1 = 1 \cdot e = e$;
Ответ: $0; \; e$.

в) На отрезке $[-3; -1]$:
$y(-3) = (-3)^2 \cdot e^{-3} = 9 \cdot \frac{1}{e^3} = \frac{9}{e^3}$;
$y(-2) = (-2)^2 \cdot e^{-2} = 4 \cdot \frac{1}{e^2} = \frac{4}{e^2}$;
$y(-1) = (-1)^2 \cdot e^{-1} = 1 \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{e}$;
Ответ: $\frac{1}{e}; \; \frac{4}{e^2}$.

г) На отрезке $[1; 3]$:
$y(1) = 1^2 \cdot e^1 = 1 \cdot e = e$;
$y(3) = 3^2 \cdot e^3 = 9e^3$;
Ответ: $e; \; 9e^3$.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции

$$y = x^2 e^x$$

Шаг 1. Найдём производную функции

Функция задана как произведение двух функций: $x^2$ и $e^x$.
Применим правило производной произведения:

$$(f \cdot g)’ = f’ \cdot g + f \cdot g’$$

где:
$f(x) = x^2$, тогда $f'(x) = 2x$
$g(x) = e^x$, тогда $g'(x) = e^x$

Теперь подставим:

$$y'(x) = (x^2)’ \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)’ = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x$$

Вынесем общий множитель:

$$y'(x) = e^x (2x + x^2) = x e^x (2 + x)$$

Шаг 2. Найдём критические точки (экстремумы)

Для этого решим уравнение:

$$y'(x) = 0$$

Подставим выражение для производной:

$$x e^x (2 + x) = 0$$

Рассмотрим каждый множитель:

1. $e^x \ne 0$ — всегда положительный
2. $x = 0 \Rightarrow y'(x) = 0$
3. $2 + x = 0 \Rightarrow x = -2 \Rightarrow y'(x) = 0$

Следовательно, критические точки:

$$x_1 = -2, \quad x_2 = 0$$

Шаг 3. Определим промежутки монотонности

Производная:

$$y'(x) = x e^x (2 + x)$$

Анализируем знак выражения $x(2 + x)$:

• Это квадратный трёхчлен со знаками:
  • $x < -2 \Rightarrow x(2 + x) > 0 \cdot (-) = (-)$
  • $-2 < x < 0 \Rightarrow x < 0, \; x + 2 > 0 \Rightarrow x(2 + x) < 0$
  • $x > 0 \Rightarrow x > 0, \; x + 2 > 0 \Rightarrow x(2 + x) > 0$

Значит:

• Функция возрастает при $x \leq -2$ и при $x \geq 0$
• Функция убывает при $-2 \leq x \leq 0$

Шаг 4. Исследуем функцию на отрезках

а) На отрезке $[-1; 1]$

Подставим в функцию значения на концах и в критических точках внутри отрезка:
На отрезке содержится $x = 0$ — точка минимума.

Вычисления:

1. $y(-1) = (-1)^2 \cdot e^{-1} = 1 \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{e}$
2. $y(0) = 0^2 \cdot e^0 = 0 \cdot 1 = 0$
3. $y(1) = 1^2 \cdot e^1 = 1 \cdot e = e$

Сравним значения:

• $\frac{1}{e} \approx 0.3679$
• $0$
• $e \approx 2.718$

Ответ:
Наименьшее значение: $0$
Наибольшее значение: $e$

б) На отрезке $[-3; 1]$

На отрезке содержатся обе критические точки: $x = -2$ (максимум) и $x = 0$ (минимум)

Вычислим значения функции в ключевых точках:

1. $y(-3) = (-3)^2 \cdot e^{-3} = 9 \cdot \frac{1}{e^3} = \frac{9}{e^3}$
2. $y(-2) = (-2)^2 \cdot e^{-2} = 4 \cdot \frac{1}{e^2} = \frac{4}{e^2}$
3. $y(0) = 0$
4. $y(1) = 1 \cdot e = e$

Сравним значения численно:

• $\frac{9}{e^3} \approx \frac{9}{20.09} \approx 0.448$
• $\frac{4}{e^2} \approx \frac{4}{7.389} \approx 0.541$
• $0$
• $e \approx 2.718$

Ответ:
Наименьшее значение: $0$
Наибольшее значение: $e$

в) На отрезке $[-3; -1]$

На отрезке содержится только точка $x = -2$ — максимум

Вычислим значения функции:

1. $y(-3) = \frac{9}{e^3} \approx 0.448$
2. $y(-2) = \frac{4}{e^2} \approx 0.541$
3. $y(-1) = \frac{1}{e} \approx 0.368$

Ответ:
Наименьшее значение: $\frac{1}{e}$
Наибольшее значение: $\frac{4}{e^2}$

г) На отрезке $[1; 3]$

На отрезке нет критических точек.
Функция возрастает на этом интервале.

1. $y(1) = 1 \cdot e = e \approx 2.718$
2. $y(3) = 9 \cdot e^3 = 9e^3$

Ответ:
Наименьшее значение: $e$
Наибольшее значение: $9e^3$

Итоговые ответы:

а) $0; \; e$
б) $0; \; e$
в) $\frac{1}{e}; \; \frac{4}{e^2}$
г) $e; \; 9e^3$