ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти производную функции:

а) $y = x^2 \cdot \ln x$;
$y'(x) = (x^2)’ \cdot \ln x + x^2 \cdot (\ln x)’ = 2x \cdot \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x}$;
$y'(x) = 2x \cdot \ln x + x = x(2 \ln x + 1)$;
Ответ: $x(2 \ln x + 1)$.

б) $y = 3 \ln x + \sin 2x$;
$y'(x) = 3(\ln x)’ + (\sin 2x)’ = 3 \cdot \frac{1}{x} + 2 \cos 2x$;
Ответ: $\frac{3}{x} + 2 \cos 2x$.

в) $y = \frac{x}{\ln x}$;
$y'(x) = \frac{(x)’ \cdot \ln x — x \cdot (\ln x)’}{\ln^2 x} = \frac{1 \cdot \ln x — x \cdot \frac{1}{x}}{\ln^2 x} = \frac{\ln x — 1}{\ln^2 x}$;
Ответ: $\frac{\ln x — 1}{\ln^2 x}$.

г) $y = 2 \cos \frac{x}{2} — 5 \ln x$;
$y'(x) = 2 \left( \cos \frac{x}{2} \right)’ — 5(\ln x)’ = 2 \left( -\frac{1}{2} \sin \frac{x}{2} \right) — 5 \cdot \frac{1}{x} = -\sin \frac{x}{2} — \frac{5}{x}$;
Ответ: $-\sin \frac{x}{2} — \frac{5}{x}$.

а) $y = x^2 \cdot \ln x$

Имеем произведение двух функций: $u(x) = x^2$, $v(x) = \ln x$.
Применим правило производной произведения:

$$(uv)’ = u’v + uv’$$

Найдём производные:

• $u'(x) = (x^2)’ = 2x$
• $v'(x) = (\ln x)’ = \frac{1}{x}$

Подставим в формулу:

$$y'(x) = 2x \cdot \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x}$$

Упростим второе слагаемое:

$$x^2 \cdot \frac{1}{x} = x$$

Итак:

$$y'(x) = 2x \cdot \ln x + x$$

Вынесем общий множитель $x$:

$$y'(x) = x(2 \ln x + 1)$$

Ответ: $x(2 \ln x + 1)$

б) $y = 3 \ln x + \sin 2x$

Сложение двух функций. Используем линейность производной:

$$y'(x) = (3 \ln x)’ + (\sin 2x)’$$

В первом слагаемом:

• $(3 \ln x)’ = 3 \cdot (\ln x)’ = 3 \cdot \frac{1}{x}$

Во втором слагаемом — сложная функция: $\sin(2x)$

Применим цепное правило:

$$(\sin(2x))’ = \cos(2x) \cdot (2x)’ = \cos(2x) \cdot 2 = 2 \cos 2x$$

Теперь соберём:

$$y'(x) = \frac{3}{x} + 2 \cos 2x$$

Ответ: $\frac{3}{x} + 2 \cos 2x$

в) $y = \frac{x}{\ln x}$

Это частное двух функций: числитель $u(x) = x$, знаменатель $v(x) = \ln x$

Применим правило производной частного:

$$\left( \frac{u}{v} \right)’ = \frac{u’v — uv’}{v^2}$$

Находим производные:

• $u'(x) = 1$
• $v'(x) = (\ln x)’ = \frac{1}{x}$

Подставим:

$$y'(x) = \frac{1 \cdot \ln x — x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2}$$

Упростим числитель:

$$\ln x — 1$$

Окончательно:

$$y'(x) = \frac{\ln x — 1}{(\ln x)^2}$$

Ответ: $\frac{\ln x — 1}{\ln^2 x}$

г) $y = 2 \cos \frac{x}{2} — 5 \ln x$

Сложение двух функций. Найдём производные по отдельности.

Первое слагаемое: $2 \cos \frac{x}{2}$

Это сложная функция: внешняя $\cos u$, внутренняя $u = \frac{x}{2}$

Применим цепное правило:

• $(\cos \frac{x}{2})’ = -\sin \frac{x}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right) = -\frac{1}{2} \sin \frac{x}{2}$

Теперь умножим на 2:

$$(2 \cos \frac{x}{2})’ = 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \sin \frac{x}{2} \right) = -\sin \frac{x}{2}$$

Второе слагаемое:

$$(-5 \ln x)’ = -5 \cdot \frac{1}{x} = -\frac{5}{x}$$

Сложим обе части:

$$y'(x) = -\sin \frac{x}{2} — \frac{5}{x}$$

Ответ: $-\sin \frac{x}{2} — \frac{5}{x}$