ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \ln(2x + 2)$, $x_0 = -\frac{1}{4}$;

б) $y = \ln(5 — 2x)$, $x_0 = 2$

Найти значение производной функции в точке с абсциссой $x_0$:

а) $y = \ln(2x + 2)$, $x_0 = -\frac{1}{4}$;
$y'(x) = (\ln(2x + 2))’ = 2 \cdot \frac{1}{2x + 2} = \frac{1}{x + 1}$;
$y’\left(-\frac{1}{4}\right) = 1 : \left(-\frac{1}{4} + 1\right) = 1 : \frac{3}{4} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$;
Ответ: $1\frac{1}{3}$.

б) $y = \ln(5 — 2x)$, $x_0 = 2$;
$y'(x) = (\ln(5 — 2x))’ = -2 \cdot \frac{1}{5 — 2x} = \frac{2}{2x — 5}$;
$y'(2) = \frac{2}{2 \cdot 2 — 5} = \frac{2}{4 — 5} = \frac{2}{-1} = -2$;
Ответ: $-2$.

а) $y = \ln(2x + 2), \quad x_0 = -\dfrac{1}{4}$

Шаг 1: Вычислим производную функции

Функция имеет вид сложной функции:

$$y = \ln(u), \quad \text{где } u = 2x + 2$$

Применим правило производной сложной функции:

$$\frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{u’}{u}$$

Найдём производную:

• $u = 2x + 2$
• $u’ = \frac{d}{dx}(2x + 2) = 2$

Тогда:

$$y'(x) = \frac{2}{2x + 2}$$

Упростим дробь:

$$y'(x) = \frac{2}{2(x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$$

Шаг 2: Подставим $x = -\dfrac{1}{4}$

$$y’\left(-\dfrac{1}{4}\right) = \frac{1}{- \dfrac{1}{4} + 1} = \frac{1}{\dfrac{3}{4}} = \frac{4}{3}$$

Можно также записать в виде смешанного числа:

$$\frac{4}{3} = 1 \dfrac{1}{3}$$

Ответ (а):

$$\boxed{1 \dfrac{1}{3}}$$

б) $y = \ln(5 — 2x), \quad x_0 = 2$

Шаг 1: Найдём производную функции

Опять имеем сложную функцию:

$$y = \ln(u), \quad \text{где } u = 5 — 2x$$

Применим правило производной сложной функции:

$$y'(x) = \frac{u’}{u}$$

Найдём производную внутренней функции:

• $u = 5 — 2x$
• $u’ = \frac{d}{dx}(5 — 2x) = -2$

Тогда:

$$y'(x) = \frac{-2}{5 — 2x}$$

Можно также переписать со знаком в числителе и положительным знаменателем:

$$y'(x) = \frac{2}{2x — 5}$$

Шаг 2: Подставим $x = 2$

$$y'(2) = \frac{2}{2 \cdot 2 — 5} = \frac{2}{4 — 5} = \frac{2}{-1} = -2$$

Ответ (б):

$$\boxed{-2}$$