ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Составить уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$:

а) $f(x) = x^5 — \ln x,\; a = 1$
Значение функции:
$f(1) = 1^5 — \ln 1 = 1 — 0 = 1$

Значение производной:
$f'(x) = (x^5)’ — (\ln x)’ = 5x^4 — \frac{1}{x}$
$f'(1) = 5 \cdot 1^4 — \frac{1}{1} = 5 — 1 = 4$

Уравнение касательной:
$y = y(a) + y'(a)(x — a)$
$y = 1 + 4(x — 1) = 1 + 4x — 4 = 4x — 3$

Ответ: $y = 4x — 3$

б) $f(x) = \frac{\ln x}{x^2},\; a = 1$
Значение функции:
$f(1) = \frac{\ln 1}{1^2} = \frac{0}{1} = 0$

Значение производной:
$f'(x) = \frac{(\ln x)’ \cdot x^2 — \ln x \cdot (x^2)’}{(x^2)^2}$
$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 — \ln x \cdot 2x}{x^4} = \frac{x — 2x \cdot \ln x}{x^4} = \frac{1 — 2\ln x}{x^3}$
$f'(1) = \frac{1 — 2 \cdot \ln 1}{1^3} = \frac{1 — 0}{1} = 1$

Уравнение касательной:
$y = y(a) + y'(a)(x — a)$
$y = 0 + 1 \cdot (x — 1) = x — 1$

Ответ: $y = x — 1$

в) $f(x) = -2x \cdot \ln x,\; a = e$
Значение функции:
$f(e) = -2e \cdot \ln e = -2e \cdot 1 = -2e$

Значение производной:
$f'(x) = (-2x)’ \cdot \ln x + (-2x) \cdot (\ln x)’$
$f'(x) = -2 \cdot \ln x — 2x \cdot \frac{1}{x} = -2\ln x — 2$
$f'(e) = -2 \cdot \ln e — 2 = -2 \cdot 1 — 2 = -4$

Уравнение касательной:
$y = y(a) + y'(a)(x — a)$
$y = -2e — 4(x — e) = -2e — 4x + 4e = 2e — 4x$

Ответ: $y = 2e — 4x$

г) $f(x) = \sqrt[3]{x} \cdot \ln x,\; a = 1$
Значение функции:
$f(1) = \sqrt[3]{1} \cdot \ln 1 = 1 \cdot 0 = 0$

Значение производной:
$f'(x) = (\sqrt[3]{x})’ \cdot \ln x + \sqrt[3]{x} \cdot (\ln x)’ = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} \cdot \ln x + \sqrt[3]{x} \cdot \frac{1}{x}$
$f'(x) = \frac{x \cdot \ln x}{3x^{\frac{2}{3}}} + \frac{3x}{3x \cdot \sqrt[3]{x^2}} = \frac{\ln x + 3}{3\sqrt[3]{x^2}}$
$f'(1) = \frac{\ln 1 + 3}{3 \cdot \sqrt[3]{1^2}} = \frac{0 + 3}{3 \cdot 1} = \frac{3}{3} = 1$

Уравнение касательной:
$y = y(a) + y'(a)(x — a)$
$y = 0 + 1 \cdot (x — 1) = x — 1$

Ответ: $y = x — 1$

а) $f(x) = x^5 — \ln x$, $a = 1$

Шаг 1: Найдём значение функции в точке $x = 1$

$$f(1) = 1^5 — \ln 1 = 1 — 0 = 1$$

Шаг 2: Найдём производную функции

Функция состоит из двух слагаемых:

• $(x^5)’ = 5x^4$
• $(\ln x)’ = \dfrac{1}{x}$

Значит:

$$f'(x) = 5x^4 — \frac{1}{x}$$

Шаг 3: Найдём значение производной при $x = 1$

$$f'(1) = 5 \cdot 1^4 — \frac{1}{1} = 5 — 1 = 4$$

Шаг 4: Уравнение касательной

Общий вид уравнения касательной в точке $x = a$:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Подставим:

$$y = 1 + 4(x — 1) = 1 + 4x — 4 = 4x — 3$$

Ответ (а):

$$\boxed{y = 4x — 3}$$

б) $f(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}$, $a = 1$

Шаг 1: Найдём значение функции при $x = 1$

$$f(1) = \frac{\ln 1}{1^2} = \frac{0}{1} = 0$$

Шаг 2: Найдём производную функции

Используем правило производной дроби:

Пусть:

• $u(x) = \ln x$, $u'(x) = \frac{1}{x}$
• $v(x) = x^2$, $v'(x) = 2x$

По формуле:

$$f'(x) = \frac{u’v — uv’}{v^2}$$

Подставим:

$$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 — \ln x \cdot 2x}{x^4} = \frac{x — 2x \ln x}{x^4} = \frac{1 — 2 \ln x}{x^3}$$

Шаг 3: Найдём значение производной при $x = 1$

$$f'(1) = \frac{1 — 2 \cdot \ln 1}{1^3} = \frac{1 — 0}{1} = 1$$

Шаг 4: Уравнение касательной

$$y = f(1) + f'(1)(x — 1) = 0 + 1 \cdot (x — 1) = x — 1$$

Ответ (б):

$$\boxed{y = x — 1}$$

в) $f(x) = -2x \cdot \ln x$, $a = e$

Шаг 1: Найдём значение функции при $x = e$

$$f(e) = -2e \cdot \ln e = -2e \cdot 1 = -2e$$

Шаг 2: Найдём производную

Произведение двух функций:

• $u(x) = -2x$, $u'(x) = -2$
• $v(x) = \ln x$, $v'(x) = \dfrac{1}{x}$

Применим правило производной произведения:

$$f'(x) = u’v + uv’ = -2 \cdot \ln x + (-2x) \cdot \frac{1}{x} = -2 \ln x — 2$$

Шаг 3: Подставим $x = e$

$$f'(e) = -2 \cdot \ln e — 2 = -2 — 2 = -4$$

Шаг 4: Уравнение касательной

$$y = f(e) + f'(e)(x — e) = -2e + (-4)(x — e) = -2e — 4x + 4e = 2e — 4x$$

Ответ (в):

$$\boxed{y = 2e — 4x}$$

г) $f(x) = \sqrt[3]{x} \cdot \ln x$, $a = 1$

Шаг 1: Найдём значение функции при $x = 1$

$$f(1) = \sqrt[3]{1} \cdot \ln 1 = 1 \cdot 0 = 0$$

Шаг 2: Найдём производную функции

Функция — произведение двух функций:

• $u(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$, $u'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3}$
• $v(x) = \ln x$, $v'(x) = \dfrac{1}{x}$

По формуле:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3} \cdot \ln x + x^{1/3} \cdot \frac{1}{x}$$

Второе слагаемое можно упростить:

$$x^{1/3} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2/3}}$$

Итак:

$$f'(x) = \frac{\ln x}{3x^{2/3}} + \frac{1}{x^{2/3}} = \frac{\ln x + 3}{3x^{2/3}} = \frac{\ln x + 3}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

Шаг 3: Подставим $x = 1$

$$\ln 1 = 0,\quad \sqrt[3]{1^2} = 1$$ $$f'(1) = \frac{0 + 3}{3 \cdot 1} = \frac{3}{3} = 1$$

Шаг 4: Уравнение касательной

$$y = f(1) + f'(1)(x — 1) = 0 + 1 \cdot (x — 1) = x — 1$$

Ответ (г):

$$\boxed{y = x — 1}$$