ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции у = f(x):

а) $f(x) = 4 — e^x$;

б) $f(x) = x^3 e^x$;

в) $f(x) = -8e^x$;

г) $f(x) = \frac{e^x}{x^3}$

Найти производную функции:

а) $f(x) = 4 — e^x$;
$f'(x) = (4)’ — (e^x)’ = 0 — e^x = -e^x$;
Ответ: $-e^x$.

б) $f(x) = x^3 e^x$;
$f'(x) = (x^3)’ \cdot e^x + x^3 \cdot (e^x)’ = 3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x = x^2 e^x (3 + x)$;
Ответ: $x^2 e^x (3 + x)$.

в) $f(x) = -8e^x$;
$f'(x) = -8(e^x)’ = -8e^x$;
Ответ: $-8e^x$.

г) $f(x) = \frac{e^x}{x^3}$;
$f'(x) = \frac{(e^x)’ \cdot x^3 — e^x \cdot (x^3)’}{(x^3)^2} = \frac{e^x \cdot x^3 — e^x \cdot 3x^2}{x^6}$;
$f'(x) = \frac{x^2 e^x (x — 3)}{x^6} = \frac{e^x (x — 3)}{x^4}$;
Ответ: $\frac{e^x (x — 3)}{x^4}$.

а) $f(x) = 4 — e^x$

Шаг 1. Найдём производную по правилу суммы (разности):

Если $f(x) = u(x) \pm v(x)$, то

$$f'(x) = u'(x) \pm v'(x)$$

Применим:

$$f'(x) = (4)’ — (e^x)’$$

Шаг 2. Производные отдельных слагаемых:

• $(4)’ = 0$ — производная постоянной равна нулю
• $(e^x)’ = e^x$ — стандартная производная экспоненты

Подставим:

$$f'(x) = 0 — e^x = -e^x$$

Ответ:

$$\boxed{-e^x}$$

б) $f(x) = x^3 \cdot e^x$

Шаг 1. Это произведение двух функций:

$$u(x) = x^3, \quad v(x) = e^x$$

Применим правило производной произведения:

$$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$

Шаг 2. Найдём производные:

• $u'(x) = (x^3)’ = 3x^2$
• $v'(x) = (e^x)’ = e^x$

Подставим:

$$f'(x) = 3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x$$

Шаг 3. Вынесем общий множитель:

$$f'(x) = e^x (3x^2 + x^3) = x^2 e^x (3 + x)$$

Ответ:

$$\boxed{x^2 e^x (3 + x)}$$

в) $f(x) = -8e^x$

Шаг 1. Это произведение константы и функции:

$$f(x) = C \cdot e^x,\quad C = -8$$

Производная:

$$f'(x) = -8 \cdot (e^x)’ = -8e^x$$

Ответ:

$$\boxed{-8e^x}$$

г) $f(x) = \dfrac{e^x}{x^3}$

Шаг 1. Это частное двух функций:

• Числитель: $u(x) = e^x$
• Знаменатель: $v(x) = x^3$

Используем правило производной частного:

$$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) — u(x)v'(x)}{v(x)^2}$$

Шаг 2. Найдём производные:

• $u'(x) = (e^x)’ = e^x$
• $v'(x) = (x^3)’ = 3x^2$

Подставим:

$$f'(x) = \frac{e^x \cdot x^3 — e^x \cdot 3x^2}{(x^3)^2}$$

Шаг 3. Упростим числитель:

Вынесем $e^x$ и $x^2$:

$$e^x x^3 — e^x 3x^2 = e^x x^2 (x — 3)$$

Знаменатель:

$$(x^3)^2 = x^6$$

Получаем:

$$f'(x) = \frac{e^x x^2 (x — 3)}{x^6}$$

Сократим $x^2$ в числителе и знаменателе:

$$f'(x) = \frac{e^x (x — 3)}{x^4}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{e^x(x-3)}{x^4}}}$$