ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Составить уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x=a$;

а) $f(x)=x{e}^{2x-1}$, $a=\frac{1}{2}$;

Значение функции:
$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot e^{2\cdot \frac{1}{2}-1}=\mathrm{0,5}\cdot e^{1-1}=\mathrm{0,5}\cdot e^0=\mathrm{0,5}$;

Значение производной:
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot e^{2x-1}+x\cdot (e^{2x-1}{)}^{\mathrm{\prime }}$;
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1\cdot e^{2x-1}+x\cdot 2e^{2x-1}=e^{2x-1}\cdot (1+2x)$;
$f^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{2}\right)=e^{2\cdot \frac{1}{2}-1}\cdot (1+2\cdot \frac{1}{2})=e^{1-1}\cdot (1+1)=2e^0=2$;

Уравнение касательной:
$y=y(a)+y^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$;
$y=\mathrm{0,5}+2(x-\frac{1}{2})=\mathrm{0,5}+2x-1=2x-\mathrm{0,5}$;

Ответ: $y=2x-\mathrm{0,5}$.

б) $y=\frac{x^2-1}{e^{3-x}}$, $a=2$;

Значение функции:
$y(2)=\frac{2^2-1}{e^{3-2}}=\frac{4-1}{e^1}=\frac{3}{e}$;

Значение производной:
$y^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(x^2-1{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot e^{3-x}-(x^2-1)\cdot (e^{3-x}{)}^{\mathrm{\prime }}}{(e^{3-x}{)}^2}$;
$y^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2x\cdot e^{3-x}-(x^2-1)\cdot (-e^{3-x})}{(e^{3-x}{)}^2}=\frac{2x+x^2-1}{e^{3-x}}$;
$y^{\mathrm{\prime }}(2)=\frac{2\cdot 2+2^2-1}{e^{3-2}}=\frac{4+4-1}{e^1}=\frac{7}{e}$;

Уравнение касательной:
$y=y(a)+y^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$;
$y=\frac{3}{e}+\frac{7}{e}\cdot (x-2)=\frac{3}{e}+\frac{7}{e}x-\frac{14}{e}=\frac{7}{e}x-\frac{11}{e}$;

Ответ: $y=\frac{7}{e}x-\frac{11}{e}$.

в) $y=x^3\cdot \ln x$, $a=e$;

Значение функции:
$y(e)=e^3\cdot \ln e=e^3\cdot 1=e^3$;

Значение производной:
$y^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot \ln x+x^3\cdot (\ln x{)}^{\mathrm{\prime }}=3x^2\cdot \ln x+x^3\cdot \frac{1}{x}$;
$y^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2\cdot \ln x+x^2=x^2(3\ln x+1)$;
$y^{\mathrm{\prime }}(e)=e^2\cdot (3\ln e+1)=e^2\cdot (3\cdot 1+1)=4e^2$;

Уравнение касательной:
$y=y(a)+y^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$;
$y=e^3+4e^2\cdot (x-e)=e^3+4e^{2}x-4e^3=4e^{2}x-3e^3$;

Ответ: $y=4e^{2}x-3e^3$.

г) $y=(2x+1)e^{1-2x}$, $a=\frac{1}{2}$;

Значение функции:
$y\left(\frac{1}{2}\right)=(2\cdot \frac{1}{2}+1)\cdot e^{1-2\cdot \frac{1}{2}}=(1+1)\cdot e^{1-1}=2\cdot e^0=2$;

Значение производной:
$y^{\mathrm{\prime }}(x)=(2x+1{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot e^{1-2x}+(2x+1)\cdot (e^{1-2x}{)}^{\mathrm{\prime }}$;
$y^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot e^{1-2x}+(2x+1)\cdot (-2e^{1-2x})$;
$y^{\mathrm{\prime }}(x)=2e^{1-2x}-2(2x+1)e^{1-2x}=2e^{1-2x}(1-(2x+1))=-4x{e}^{1-2x}$;
$y^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{2}\right)=-4\cdot \frac{1}{2}\cdot e^{1-2\cdot \frac{1}{2}}=-2\cdot e^{1-1}=-2\cdot e^0=-2$;

Уравнение касательной:
$y=y(a)+y^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$;
$y=2-2(x-\frac{1}{2})=2-2x+1=3-2x$;

Ответ: $y=3-2x$.

Составить уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x=a$

а) $f(x)=x{e}^{2x-1}$, $a=\frac{1}{2}$

Шаг 1: Найдём значение функции в точке $x=\frac{1}{2}$

Подставляем $x=\frac{1}{2}$ в выражение $f(x)$:

$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot e^{2\cdot \frac{1}{2}-1}$$$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot e^{1-1}=\frac{1}{2}\cdot e^0$$$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot 1=\mathrm{0,5}$$

Шаг 2: Найдём производную функции $f(x)=x{e}^{2x-1}$

Это произведение двух функций: $u(x)=x$ и $v(x)=e^{2x-1}$

Используем правило производной произведения:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=u^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)$$

Находим производные:

$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=(x{)}^{\mathrm{\prime }}=1$$$$v^{\mathrm{\prime }}(x)=(e^{2x-1}{)}^{\mathrm{\prime }}=e^{2x-1}\cdot (2x-1{)}^{\mathrm{\prime }}=e^{2x-1}\cdot 2$$

Теперь подставим:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1\cdot e^{2x-1}+x\cdot 2e^{2x-1}$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{2x-1}+2x\cdot e^{2x-1}$$

Вынесем общий множитель $e^{2x-1}$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{2x-1}\cdot (1+2x)$$

Шаг 3: Найдём значение производной в точке $x=\frac{1}{2}$

Подставим $x=\frac{1}{2}$ в выражение для производной:

$$f^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{2}\right)=e^{2\cdot \frac{1}{2}-1}\cdot (1+2\cdot \frac{1}{2})$$$$f^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{2}\right)=e^{1-1}\cdot (1+1)=e^0\cdot 2$$$$f^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{2}\right)=1\cdot 2=2$$

Шаг 4: Запишем уравнение касательной к графику функции

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x=a$ задаётся формулой:

$$y=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$$

Подставляем найденные значения:

$$f(a)=\mathrm{0,5},f^{\mathrm{\prime }}(a)=2,a=\frac{1}{2}$$$$y=\mathrm{0,5}+2(x-\frac{1}{2})$$

Раскроем скобки:

$$y=\mathrm{0,5}+2x-1$$

Приведём подобные:

$$y=2x-\mathrm{0,5}$$

Ответ: $y=2x-\mathrm{0,5}$

б) $y={\displaystyle \frac{x^2-1}{e^{3-x}}}$, $a=2$

Шаг 1: Найдём значение функции в точке $x=2$

Подставляем $x=2$ в выражение для функции:

$$y(2)=\frac{2^2-1}{e^{3-2}}=\frac{4-1}{e^1}=\frac{3}{e}$$

Шаг 2: Найдём производную функции

Функция задана как дробь. Используем правило производной частного:

$$y(x)=\frac{u(x)}{v(x)},\text{где }u(x)=x^2-1,v(x)=e^{3-x}$$

Формула производной частного:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{u^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)}{(v(x){)}^2}$$

Находим производные числителя и знаменателя:

$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^2-1{)}^{\mathrm{\prime }}=2x$$$$v^{\mathrm{\prime }}(x)=(e^{3-x}{)}^{\mathrm{\prime }}=e^{3-x}\cdot (-1)=-e^{3-x}$$

Теперь подставим всё в формулу:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2x\cdot e^{3-x}-(x^2-1)\cdot (-e^{3-x})}{(e^{3-x}{)}^2}$$

Знак минус перед второй частью меняет знак:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2x\cdot e^{3-x}+(x^2-1)\cdot e^{3-x}}{(e^{3-x}{)}^2}$$

В числителе можно вынести общий множитель $e^{3-x}$:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{e^{3-x}\cdot (2x+x^2-1)}{(e^{3-x}{)}^2}$$

Сократим $e^{3-x}$ в числителе и знаменателе:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2x+x^2-1}{e^{3-x}}$$

Шаг 3: Найдём значение производной в точке $x=2$

$$y^{\mathrm{\prime }}(2)=\frac{2\cdot 2+2^2-1}{e^{3-2}}=\frac{4+4-1}{e^1}=\frac{7}{e}$$

Шаг 4: Составим уравнение касательной

Общий вид:

$$y=y(a)+y^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$$

Подставляем:

$$y=\frac{3}{e}+\frac{7}{e}(x-2)$$

Раскроем скобки:

$$y=\frac{3}{e}+\frac{7}{e}x-\frac{14}{e}$$

Приведём подобные:

$$y=\frac{7}{e}x-\frac{11}{e}$$

Ответ: $y={\displaystyle \frac{7}{e}}x-{\displaystyle \frac{11}{e}}$

в) $y=x^3\cdot \ln x$, $a=e$

Шаг 1: Найдём значение функции в точке $x=e$

$$y(e)=e^3\cdot \ln e=e^3\cdot 1=e^3$$

Шаг 2: Найдём производную функции

Это произведение функций: $u(x)=x^3$, $v(x)=\ln x$

Применим правило производной произведения:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=u^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)$$$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2,v^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{x}$$

Подставим:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2\cdot \ln x+x^3\cdot \frac{1}{x}=3x^2\ln x+x^2$$

Вынесем общий множитель $x^2$:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2(3\ln x+1)$$

Шаг 3: Найдём значение производной в точке $x=e$

$$y^{\mathrm{\prime }}(e)=e^2(3\cdot \ln e+1)=e^2(3\cdot 1+1)=e^2\cdot 4=4e^2$$

Шаг 4: Составим уравнение касательной

$$y=y(a)+y^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$$

Подставим:

$$y=e^3+4e^2(x-e)$$

Раскроем скобки:

$$y=e^3+4e^{2}x-4e^3$$

Приведём подобные:

$$y=4e^{2}x-3e^3$$

Ответ: $y=4e^{2}x-3e^3$

г) $y=(2x+1)e^{1-2x}$, $a=\frac{1}{2}$

Шаг 1: Найдём значение функции в точке $x=\frac{1}{2}$

$$y\left(\frac{1}{2}\right)=(2\cdot \frac{1}{2}+1)\cdot e^{1-2\cdot \frac{1}{2}}=(1+1)\cdot e^{1-1}=2\cdot e^0=2$$

Шаг 2: Найдём производную функции

Это произведение: $u(x)=2x+1$, $v(x)=e^{1-2x}$

Используем правило производной произведения:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=u^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)$$

Находим производные:

$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=2,v^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{1-2x}\cdot (-2)=-2e^{1-2x}$$

Подставим:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot e^{1-2x}+(2x+1)(-2e^{1-2x})$$$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=2e^{1-2x}-2(2x+1)\cdot e^{1-2x}$$

Вынесем общий множитель:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=2e^{1-2x}[1-(2x+1)]=2e^{1-2x}(-2x)=-4x{e}^{1-2x}$$

Шаг 3: Найдём значение производной в точке $x=\frac{1}{2}$

$$y^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{2}\right)=-4\cdot \frac{1}{2}\cdot e^{1-2\cdot \frac{1}{2}}=-2\cdot e^{1-1}=-2\cdot e^0=-2$$

Шаг 4: Составим уравнение касательной

$$y=y(a)+y^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$$

Подставим:

$$y=2-2(x-\frac{1}{2})$$

Раскроем скобки:

$$y=2-2x+1=3-2x$$

Ответ: $y=3-2x$