ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Исследовать функцию на монотонность и экстремумы:

а) $y = x + \ln \frac{1}{x} = x + \ln x^{-1} = x — \ln x$;

$$y'(x) = (x)’ — (\ln x)’ = 1 — \frac{1}{x};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\frac{1}{x} > 0;$$ $$x > 0;$$

Промежуток возрастания:

$$1 — \frac{1}{x} \geq 0 \quad | \cdot x;$$ $$x — 1 \geq 0;$$ $$x \geq 1;$$

Ответ: возрастает на $[1; +\infty)$ и убывает на $(0; 1]$;
$x = 1$ — точка минимума.

б) $y = x^4 — 4\ln x$;

$$y'(x) = (x^4)’ — 4(\ln x)’ = 4x^3 — 4 \cdot \frac{1}{x};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0;$$

Промежуток возрастания:

$$4x^3 — \frac{4}{x} \geq 0 \quad | \cdot \frac{x}{4};$$ $$x^4 — 1 \geq 0;$$ $$(x^2 + 1)(x + 1)(x — 1) \geq 0;$$ $$x — 1 \geq 0;$$ $$x \geq 1;$$

Ответ: возрастает на $[1; +\infty)$ и убывает на $(0; 1]$;
$x = 1$ — точка минимума.

а) $y = x + \ln \dfrac{1}{x}$

Шаг 1: Упростим выражение функции

$$y = x + \ln\left(\frac{1}{x}\right)$$

Используем свойство логарифма:

$$\ln\left(\frac{1}{x}\right) = \ln(x^{-1}) = -\ln x$$

Тогда функция переписывается как:

$$y = x — \ln x$$

Шаг 2: Найдём область определения

Функция состоит из двух частей:

• $x$ — определена при всех $x \in \mathbb{R}$
• $\ln x$ — определена только при $x > 0$

Значит, область определения функции:

$$D(y) = (0; +\infty)$$

Шаг 3: Найдём производную функции

$$y(x) = x — \ln x$$

Продифференцируем по правилу:

• Производная $x$ равна $1$
• Производная $\ln x$ равна $\dfrac{1}{x}$

$$y'(x) = (x)’ — (\ln x)’ = 1 — \frac{1}{x}$$

Шаг 4: Найдём критические точки и исследуем знак производной

Для нахождения экстремумов и промежутков монотонности нужно решить неравенство:

$$y'(x) = 1 — \frac{1}{x} \geq 0$$

Решим:

$$1 — \frac{1}{x} \geq 0$$

Переносим:

$$1 \geq \frac{1}{x}$$

Умножим обе части неравенства на $x$, учитывая, что $x > 0$ (по области определения). При $x > 0$ знак неравенства сохраняется:

$$x \cdot 1 \geq x \cdot \frac{1}{x} \Rightarrow x \geq 1$$

Шаг 5: Исследуем знак производной на всей области определения

• На промежутке $(0; 1)$: $x < 1 \Rightarrow y'(x) = 1 — \frac{1}{x} < 0$ → функция убывает
• В точке $x = 1$: $y'(1) = 1 — \frac{1}{1} = 0$ → критическая точка
• На промежутке $(1; +\infty)$: $x > 1 \Rightarrow y'(x) > 0$ → функция возрастает

Шаг 6: Вывод по монотонности

• Убывает на $(0; 1]$
• Возрастает на $[1; +\infty)$

Шаг 7: Найдём значение функции в критической точке

Подставим $x = 1$ в исходную (упрощённую) функцию:

$$y(1) = 1 — \ln 1 = 1 — 0 = 1$$

Шаг 8: Характер экстремума

Так как производная меняет знак с минуса на плюс при $x = 1$, это точка минимума.

Ответ:
Функция возрастает на $[1; +\infty)$, убывает на $(0; 1]$;
$x = 1$ — точка минимума.

б) $y = x^4 — 4 \ln x$

Шаг 1: Найдём область определения

• $x^4$ определена при всех $x \in \mathbb{R}$
• $\ln x$ определена при $x > 0$

Значит, область определения:

$$D(y) = (0; +\infty)$$

Шаг 2: Найдём производную функции

$$y(x) = x^4 — 4 \ln x$$

Продифференцируем:

• Производная $x^4$ равна $4x^3$
• Производная $\ln x$ равна $\dfrac{1}{x}$

$$y'(x) = 4x^3 — 4 \cdot \frac{1}{x}$$

Шаг 3: Приведём к общему виду

Вынесем общий множитель:

$$y'(x) = 4\left(x^3 — \frac{1}{x}\right)$$

Шаг 4: Решим неравенство $y'(x) \geq 0$

Исследуем знак производной:

$$x^3 — \frac{1}{x} \geq 0$$

Умножим обе части на $x$, зная, что $x > 0$:

$$x^4 — 1 \geq 0$$

Решим неравенство:

$$x^4 — 1 \geq 0 \Rightarrow x^4 \geq 1 \Rightarrow x \geq 1$$

Пояснение: $x^4 \geq 1$ при $x \geq 1$, так как $x > 0$

Шаг 5: Повторим анализ производной

• На промежутке $(0; 1)$: $x^4 — 1 < 0 \Rightarrow y'(x) < 0$ → функция убывает
• В точке $x = 1$: $y'(1) = 4(1^3 — \frac{1}{1}) = 4(1 — 1) = 0$ → критическая точка
• На промежутке $(1; +\infty)$: $x > 1 \Rightarrow y'(x) > 0$ → функция возрастает

Шаг 6: Найдём значение функции в критической точке

Подставим $x = 1$ в исходную функцию:

$$y(1) = 1^4 — 4 \ln 1 = 1 — 4 \cdot 0 = 1$$

Шаг 7: Характер экстремума

Производная меняет знак с минуса на плюс при $x = 1$, следовательно, это точка минимума.

Ответ:
Функция возрастает на $[1; +\infty)$, убывает на $(0; 1]$;
$x = 1$ — точка минимума.