ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) прямая y = Зх — 4 + a является касательной к графику функции у = ln(3x — 4);

б) прямая у = 2х + 3 + а является касательной к графику функции у = ln(2х + 3)?

При каком значении параметра $a$ прямая $y = kx + m + a$ является касательной к графику заданной функции $y = f(x)$;

a) $f(x) = \ln(3x — 4)$, $y = 3x — 4 + a$;

Угловой коэффициент касательной:
$k(x) = (\ln(3x — 4))’ = 3 \cdot \frac{1}{3x — 4}$, $k(x_0) = 3$;

Абсцисса точки касания:
$k(x_0) = \frac{3}{3x_0 — 4} = 3$;
$3 = 3 \cdot (3x_0 — 4)$;
$1 = 3x_0 — 4$;
$3x_0 = 5$;
$x_0 = \frac{5}{3}$;

Значение функции:
$f\left(\frac{5}{3}\right) = \ln\left(3 \cdot \frac{5}{3} — 4\right) = \ln(5 — 4) = \ln 1 = 0$;

Уравнение касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$;
$y = 0 + 3\left(x — \frac{5}{3}\right) = 3x — 5$;

Значение параметра $a$:
$3x — 4 + a = 3x — 5$;
$a = -5 + 4 = -1$;

Ответ: $-1$.

6) $f(x) = \ln(2x + 3)$, $y = 2x + 3 + a$;

Угловой коэффициент касательной:
$k(x) = (\ln(2x + 3))’ = 2 \cdot \frac{1}{2x + 3}$, $k(x_0) = 2$;

Абсцисса точки касания:
$k(x_0) = \frac{2}{2x_0 + 3} = 2$;
$2 = 2 \cdot (2x_0 + 3)$;
$1 = 2x_0 + 3$;
$2x_0 = -2$;
$x_0 = -1$;

Значение функции:
$f(-1) = \ln(2 \cdot (-1) + 3) = \ln(3 — 2) = \ln 1 = 0$;

Уравнение касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$;
$y = 0 + 2(x + 1) = 2x + 2$;

Значение параметра $a$:
$2x + 3 + a = 2x + 2$;
$a = 2 — 3 = -1$;

Ответ: $-1$.

а) $f(x) = \ln(3x — 4)$, прямая: $y = 3x — 4 + a$

Шаг 1.
Прямая имеет вид $y = kx + m + a$, где угловой коэффициент $k = 3$.
Если она является касательной к графику функции, то в некоторой точке $x = x_0$ производная функции должна быть равна $3$.

Шаг 2.
Найдём производную функции:

$$f(x) = \ln(3x — 4)$$ $$f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(3x — 4) = \frac{3}{3x — 4}$$

Шаг 3.
Приравниваем производную к угловому коэффициенту касательной:

$$\frac{3}{3x_0 — 4} = 3$$

Умножим обе части на $3x_0 — 4$:

$$3 = 3 \cdot (3x_0 — 4) \Rightarrow 1 = 3x_0 — 4 \Rightarrow 3x_0 = 5 \Rightarrow x_0 = \frac{5}{3}$$

Шаг 4.
Найдём значение функции в точке касания:

$$f\left(\frac{5}{3}\right) = \ln(3 \cdot \frac{5}{3} — 4) = \ln(5 — 4) = \ln 1 = 0$$

Шаг 5.
Найдём уравнение касательной в точке $x = \frac{5}{3}$:

Общий вид уравнения касательной:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$$

Подставим значения:

• $f(x_0) = 0$
• $f'(x_0) = 3$
• $x_0 = \frac{5}{3}$

$$y = 0 + 3\left(x — \frac{5}{3}\right) = 3x — 5$$

Шаг 6.
Сравним полученное уравнение касательной $y = 3x — 5$ с данной прямой $y = 3x — 4 + a$

$$3x — 4 + a = 3x — 5$$

Сократим $3x$ по обе стороны:

$$-4 + a = -5 \Rightarrow a = -1$$

Ответ: $\boxed{-1}$

б) $f(x) = \ln(2x + 3)$, прямая: $y = 2x + 3 + a$

Шаг 1.
Угловой коэффициент заданной прямой: $k = 2$.
Ищем такую точку $x_0$, при которой производная функции равна $2$.

Шаг 2.
Найдём производную функции:

$$f(x) = \ln(2x + 3)$$ $$f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(2x + 3) = \frac{2}{2x + 3}$$

Шаг 3.
Приравниваем производную к угловому коэффициенту касательной:

$$\frac{2}{2x_0 + 3} = 2$$

Умножим обе части на $2x_0 + 3$:

$$2 = 2 \cdot (2x_0 + 3) \Rightarrow 1 = 2x_0 + 3 \Rightarrow 2x_0 = -2 \Rightarrow x_0 = -1$$

Шаг 4.
Найдём значение функции в точке $x = -1$:

$$f(-1) = \ln(2 \cdot (-1) + 3) = \ln(1) = 0$$

Шаг 5.
Найдём уравнение касательной в точке $x = -1$:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0) \Rightarrow y = 0 + 2(x — (-1)) = 2(x + 1) = 2x + 2$$

Шаг 6.
Сравним с данной прямой $y = 2x + 3 + a$

$$2x + 3 + a = 2x + 2$$

Сократим $2x$:

$$3 + a = 2 \Rightarrow a = -1$$

Ответ: $\boxed{-1}$