ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра а функция $y=x^6{e}^{-x}$ на интервале (а; а + 7):

а) имеет одну точку экстремума;

б) имеет две точки экстремума;

в) убывает;

г) возрастает?

Функция $y = x^6 e^{-x}$ рассматривается на интервале $(a; a + 7)$;

Производная функции:
$y'(x) = (x^6)’ \cdot e^{-x} + x^6 \cdot (e^{-x})’$;
$y'(x) = 6x^5 \cdot e^{-x} + x^6 \cdot (-e^{-x}) = x^5 e^{-x} \cdot (6 — x)$;

Промежуток возрастания:
$x^5 e^{-x} \cdot (6 — x) \geq 0$;
$x(6 — x) \geq 0$;
$x(x — 6) \leq 0$;
$0 \leq x \leq 6$;

Точки экстремума:
$x_1 = 0, \; x_2 = 6$;

а) Функция имеет одну точку экстремума:
$\begin{cases} a < 0 \\ a + 7 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a < 0 \\ a > -7 \end{cases} \Rightarrow -7 < a < 0$;
$\begin{cases} a < 6 \\ a + 7 > 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a < 6 \\ a > -1 \end{cases} \Rightarrow -1 < a < 6$;
Ответ: $a \in (-7; -1] \cup [0; 6)$.

б) Функция имеет две точки экстремума:
$\begin{cases} a < 0 \\ a + 7 > 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a < 0 \\ a > -1 \end{cases} \Rightarrow -1 < a < 0$;
Ответ: $a \in (-1; 0)$.

в) Функция убывает:
$\begin{cases} a \leq 0 \\ a + 7 \leq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \leq 0 \\ a \leq -7 \end{cases} \Rightarrow a \leq -7$;
$\begin{cases} a \geq 6 \\ a + 7 \geq 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \geq 6 \\ a \geq -1 \end{cases} \Rightarrow a \geq 6$;
Ответ: $a \in (-\infty; -7] \cup [6; +\infty)$.

г) Функция возрастает:
$\begin{cases} a \geq 0 \\ a + 7 \leq 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \geq 0 \\ a \leq -1 \end{cases} \Rightarrow a \in \varnothing$;
Ответ: нет таких $a$.

Рассмотрим функцию

$$y = x^6 e^{-x}$$

и определим при каких значениях параметра $a$ на интервале

$$(a; a + 7)$$

функция:

а) имеет одну точку экстремума;
б) имеет две точки экстремума;
в) убывает;
г) возрастает.

Шаг 1. Найдём производную функции

Применим правило производной произведения:

$$y=x^6\cdot e^{-x}$$

$$y = x^6 \cdot e^{-x}$$ $$y^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^6{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot e^{-x}+x^6\cdot (e^{-x}{)}^{\mathrm{\prime }}=6x^5\cdot e^{-x}+x^6\cdot (-e^{-x})=$$

$$y'(x) = (x^6)’ \cdot e^{-x} + x^6 \cdot (e^{-x})’ = 6x^5 \cdot e^{-x} + x^6 \cdot (-e^{-x}) = e^{-x} \cdot (6x^5 — x^6) = x^5 e^{-x} (6 — x)$$

Шаг 2. Исследуем знак производной

Поскольку $e^{-x} > 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$, знак производной определяется знаком выражения:

$$x^5 (6 — x)$$

Рассмотрим знак этого выражения:

• $x^5 > 0$, если $x > 0$;
• $6 — x > 0$, если $x < 6$;
• Следовательно, $y'(x) > 0$, когда $x \in (0; 6)$;
• $y'(x) < 0$, когда $x < 0$ или $x > 6$.

Шаг 3. Найдём точки экстремума

Производная равна нулю, если:

$$y'(x) = x^5 e^{-x} (6 — x) = 0$$

Это возможно, если:

• $x^5 = 0 \Rightarrow x = 0$
• $6 — x = 0 \Rightarrow x = 6$

Таким образом, точки экстремума функции:

$$x = 0, \quad x = 6$$

Шаг 4. Определим при каких значениях параметра $a$ точки $0$ и $6$ попадают в интервал $(a; a + 7)$

Чтобы x = 0 принадлежало интервалу $(a; a + 7)$:

$$a < 0 < a + 7 \Rightarrow \begin{cases} a < 0 \\ a + 7 > 0 \Rightarrow a > -7 \end{cases} \Rightarrow a \in (-7; 0)$$

Чтобы x = 6 принадлежало интервалу $(a; a + 7)$:

$$a < 6 < a + 7 \Rightarrow \begin{cases} a < 6 \\ a + 7 > 6 \Rightarrow a > -1 \end{cases} \Rightarrow a \in (-1; 6)$$

а) Функция имеет одну точку экстремума

Это возможно в двух случаях:

1. Только $x = 0$ принадлежит интервалу:

• Значит: $0 \in (a; a + 7)$, но $6 \notin (a; a + 7)$

$$\Rightarrow a \in (-7; 0), \quad a \notin (-1; 6) \Rightarrow a \in (-7; -1]$$

2. Только $x = 6$ принадлежит интервалу:

• Значит: $6 \in (a; a + 7)$, но $0 \notin (a; a + 7)$

$$\Rightarrow a \in (-1; 6), \quad a \notin (-7; 0) \Rightarrow a \in [0; 6)$$

Объединяя два случая:

$$\boxed{a \in (-7; -1] \cup [0; 6)}$$

б) Функция имеет две точки экстремума

Итак, нужно чтобы:

• $x = 0 \in (a; a + 7)$ → $a \in (-7; 0)$
• $x = 6 \in (a; a + 7)$ → $a \in (-1; 6)$

Объединение условий:

$$a \in (-7; 0) \cap (-1; 6) = (-1; 0)$$

Ответ:

$$\boxed{a \in (-1; 0)}$$

в) Функция убывает на всём интервале

Производная должна быть отрицательной на всём интервале, т.е. $y'(x) < 0$ для всех $x \in (a; a + 7)$

Из графика производной:

• $y'(x) < 0$ при $x < 0$ или $x > 6$

Первый случай: $(a; a + 7) \subset (-\infty; 0)$

Тогда:

$$a + 7 \leq 0 \Rightarrow a \leq -7$$

Второй случай: $(a; a + 7) \subset (6; +\infty)$

Тогда:

$$a \geq 6$$

Ответ:

$$\boxed{a \in (-\infty; -7] \cup [6; +\infty)}$$

г) Функция возрастает на всём интервале

Производная должна быть положительной: $y'(x) > 0$ на всём $(a; a + 7)$

Из графика производной:

• $y'(x) > 0$ при $0 < x < 6$

Значит весь интервал $(a; a + 7)$ должен лежать внутри $(0; 6)$

То есть:

$$a > 0 \quad \text{и} \quad a + 7 < 6 \Rightarrow a > 0 \quad \text{и} \quad a < -1 \Rightarrow a \in \varnothing$$

Ответ:

$$\boxed{\text{Нет таких значений } a}$$

Итоговые ответы:

а) одна точка экстремума: $\boxed{a \in (-7; -1] \cup [0; 6)}$
б) две точки экстремума: $\boxed{a \in (-1; 0)}$
в) функция убывает: $\boxed{a \in (-\infty; -7] \cup [6; +\infty)}$
г) функция возрастает: $\boxed{\text{нет таких значений } a}$