ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$:

а) $f(x) = \sqrt[3]{x} \cdot e^x, \; x_0 = 1$;
$f'(x) = (\sqrt[3]{x})’ \cdot e^x + \sqrt[3]{x} \cdot (e^x)’ = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} \cdot e^x + \sqrt[3]{x} \cdot e^x$;
$f'(x) = \frac{e^x}{3\sqrt[3]{x^2}} + \frac{3x e^x}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{e^x(1 + 3x)}{3\sqrt[3]{x^2}}$;
$f'(1) = \frac{e^1 \cdot (1 + 3 \cdot 1)}{3 \cdot \sqrt[3]{1^2}} = \frac{e \cdot (1 + 3)}{3 \cdot 1} = \frac{4e}{3}$;
Ответ: $\frac{4e}{3}$.

б) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{e^x}, \; x_0 = 1$;
$f'(x) = \frac{(\sqrt{x})’ \cdot e^x — \sqrt{x} \cdot (e^x)’}{(e^x)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot e^x — \sqrt{x} \cdot e^x}{e^{2x}}$;
$f'(x) = \frac{e^x — 2x e^x}{2\sqrt{x} \cdot e^{2x}} = \frac{e^x(1 — 2x)}{2\sqrt{x} \cdot e^{2x}} = \frac{1 — 2x}{2e^x \cdot \sqrt{x}}$;
$f'(1) = \frac{1 — 2 \cdot 1}{2e^1 \cdot \sqrt{1}} = \frac{1 — 2}{2e} = -\frac{1}{2e}$;
Ответ: $-\frac{1}{2e}$.

в) $f(x) = 4e^x + 3, \; x_0 = -2$;
$f'(x) = 4(e^x)’ + (3)’ = 4e^x + 0 = 4e^x$;
$f'(-2) = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$;
Ответ: $\frac{4}{e^2}$.

г) $f(x) = 0{,}1e^x — 10x, \; x_0 = 0$;
$f'(x) = 0{,}1(e^x)’ — (10x)’ = 0{,}1e^x — 10$;
$f'(0) = 0{,}1e^0 — 10 = 0{,}1 \cdot 1 — 10 = -9{,}9$;
Ответ: $-9{,}9$.

Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$:

а) $f(x) = \sqrt[3]{x} \cdot e^x, \quad x_0 = 1$

Это произведение двух функций:

$$f(x) = u(x) \cdot v(x), \quad \text{где } u(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}, \quad v(x) = e^x$$

Применим правило производной произведения:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Найдём каждую производную:

$$u'(x) = \frac{d}{dx}x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{-2/3}, \quad v'(x) = \frac{d}{dx}e^x = e^x$$

Подставляем в формулу:

$$f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} \cdot e^x + x^{1/3} \cdot e^x$$

Приведём к общему знаменателю:

$$x^{1/3} = \frac{3x}{3x^{2/3}} = \frac{3x}{3\sqrt[3]{x^2}}, \quad x^{-2/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$$ $$f'(x) = \frac{e^x}{3\sqrt[3]{x^2}} + \frac{3x e^x}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{e^x(1 + 3x)}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

Подставим $x_0 = 1$:

$$f'(1) = \frac{e^1(1 + 3 \cdot 1)}{3 \cdot \sqrt[3]{1^2}} = \frac{e(1 + 3)}{3 \cdot 1} = \frac{4e}{3}$$

Ответ: $\frac{4e}{3}$

б) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{e^x}, \quad x_0 = 1$

Это дробь, применим правило производной частного:

$$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}, \quad u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}, \quad v(x) = e^x$$ $$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) — u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$$

Находим производные:

$$u'(x) = \frac{d}{dx}x^{1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad v'(x) = e^x$$

Подставляем:

$$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot e^x — \sqrt{x} \cdot e^x}{(e^x)^2}$$

В числителе вынесем $e^x$:

$$f'(x) = \frac{e^x\left( \frac{1}{2\sqrt{x}} — \sqrt{x} \right)}{e^{2x}}$$

Запишем в виде дроби с общим знаменателем:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} — \sqrt{x} = \frac{1 — 2x}{2\sqrt{x}}$$

Тогда:

$$f'(x) = \frac{e^x \cdot \frac{1 — 2x}{2\sqrt{x}}}{e^{2x}} = \frac{1 — 2x}{2\sqrt{x} \cdot e^x}$$

Подставим $x_0 = 1$:

$$f'(1) = \frac{1 — 2 \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{1} \cdot e^1} = \frac{-1}{2e}$$

Ответ: $-\frac{1}{2e}$

в) $f(x) = 4e^x + 3, \quad x_0 = -2$

Функция — сумма двух слагаемых:

$$f(x) = 4e^x + 3$$

Производная:

$$f'(x) = 4(e^x)’ + (3)’ = 4e^x + 0 = 4e^x$$

Подставим $x_0 = -2$:

$$f'(-2) = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$$

Ответ: $\frac{4}{e^2}$

г) $f(x) = 0{,}1e^x — 10x, \quad x_0 = 0$

Функция — разность двух слагаемых:

$$f(x) = 0{,}1e^x — 10x$$

Производная:

$$f'(x) = 0{,}1(e^x)’ — (10x)’ = 0{,}1e^x — 10$$

Подставим $x_0 = 0$:

$$f'(0) = 0{,}1 \cdot e^0 — 10 = 0{,}1 \cdot 1 — 10 = -9{,}9$$

Ответ: $-9{,}9$