ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции у = h(x) в точке с абсциссой $x_0$:

а) $h(x) = \left( \frac{1}{e} \right)^x, \; x_0 = 0$;

б) $h(x) = e^{-x+2}, \; x_0 = 2$;

в) $h(x) = \frac{1}{e^x} + x^5, \; x_0 = -1$;

г) $h(x) = x + e^{2x-3}, \; x_0 = 1{,}5$

Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$:

а) $h(x) = \left( \frac{1}{e} \right)^x, \; x_0 = 0$;
$h'(x) = \left( \frac{1}{e} \right)^x = \left( e^{-x} \right) = -e^{-x}$;
$h'(0) = -e^{-0} = -e^0 = -1$;
Ответ: $-1$.

б) $h(x) = e^{-x+2}, \; x_0 = 2$;
$h'(x) = (e^{-x+2})’ = e^{-x+2} = -e^{-x+2}$;
$h'(2) = -e^{-2+2} = -e^0 = -1$;
Ответ: $-1$.

в) $h(x) = \frac{1}{e^x} + x^5, \; x_0 = -1$;
$h'(x) = \left( \frac{1}{e^x} \right)’ + (x^5)’ = (x^5)’ + (e^{-x})’ = 5x^4 — e^{-x}$;
$h'(-1) = 5 \cdot (-1)^4 — e^{-(-1)} = 5 \cdot 1 — e^1 = 5 — e$;
Ответ: $5 — e$.

г) $h(x) = x + e^{2x-3}, \; x_0 = 1{,}5$;
$h'(x) = (x)’ + (e^{2x-3})’ = 1 + 2e^{2x-3}$;
$h'(1{,}5) = 1 + 2e^{2 \cdot 1{,}5 — 3} = 1 + 2e^{3 — 3} = 1 + 2e^0 = 1 + 2 = 3$;
Ответ: $3$.

а) $h(x) = \left( \frac{1}{e} \right)^x, \quad x_0 = 0$

Функция имеет вид степени с постоянным основанием:

$$h(x) = \left( \frac{1}{e} \right)^x = e^{-x}$$

Найдём производную:

$$h'(x) = \frac{d}{dx}(e^{-x}) = (-1) \cdot e^{-x} = -e^{-x}$$

Теперь подставим $x_0 = 0$:

$$h'(0) = -e^{-0} = -e^0 = -1$$

Ответ: $-1$

б) $h(x) = e^{-x + 2}, \quad x_0 = 2$

Функция представляет собой показательную функцию с линейным показателем степени:

$$h(x) = e^{u(x)}, \quad \text{где } u(x) = -x + 2$$

Применим правило дифференцирования сложной функции:

$$h'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$

Найдём производную внутренней функции:

$$u'(x) = \frac{d}{dx}(-x + 2) = -1$$

Следовательно:

$$h'(x) = -1 \cdot e^{-x + 2} = -e^{-x + 2}$$

Подставим $x_0 = 2$:

$$h'(2) = -e^{-2 + 2} = -e^0 = -1$$

Ответ: $-1$

в) $h(x) = \frac{1}{e^x} + x^5, \quad x_0 = -1$

Представим функцию как сумму двух слагаемых:

$$h(x) = e^{-x} + x^5$$

(Поскольку $\frac{1}{e^x} = e^{-x}$)

Найдём производную каждого слагаемого:

$$\frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x}, \quad \frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$$

Тогда полная производная:

$$h'(x) = 5x^4 — e^{-x}$$

Подставим $x_0 = -1$:

$$h'(-1) = 5 \cdot (-1)^4 — e^{-(-1)} = 5 \cdot 1 — e^1 = 5 — e$$

Ответ: $5 — e$

г) $h(x) = x + e^{2x — 3}, \quad x_0 = 1{,}5$

Функция — сумма двух слагаемых:

$$h(x) = x + e^{2x — 3}$$

Найдём производную:

$$\frac{d}{dx}(x) = 1$$ $$\frac{d}{dx}(e^{2x — 3}) = 2 \cdot e^{2x — 3}$$

(Снова используется правило цепочки: $\frac{d}{dx}(e^{u(x)}) = u'(x) \cdot e^{u(x)}$, где $u(x) = 2x — 3$, а $u'(x) = 2$)

Тогда:

$$h'(x) = 1 + 2e^{2x — 3}$$

Подставим $x_0 = 1{,}5$:

$$h'(1{,}5) = 1 + 2e^{2 \cdot 1{,}5 — 3} = 1 + 2e^{3 — 3} = 1 + 2e^0 = 1 + 2 \cdot 1 = 3$$

Ответ: $3$

ИТОГИ:

а) $\boxed{-1}$

б) $\boxed{-1}$

в) $\boxed{5 — e}$

г) $\boxed{3}$