ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите угол, образованный касательной к графику функции у = h(x) с положительным направлением оси абсцисс в точке с абсциссой $x_0$:$\boxed{\frac{\pi}{4}}$

а) $h(x) = \frac{1}{5} e^{5x-1},\ x_0 = 0{,}2$;

б) $h(x) = e^{-x-\sqrt{3}},\ x_0 = -\sqrt{3}$;

в) $h(x) = \frac{1}{3} e^{1-3x},\ x_0 = \frac{1}{3}$;

г) $h(x) = e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x — 1},\ x_0 = \sqrt{3}$

Найти угол, образованный касательной к графику функции с положительным направлением оси абсцисс в точке с абсциссой $x_0$:

а) $h(x) = \frac{1}{5} e^{5x-1},\ x_0 = 0{,}2$;
$h'(x) = \frac{1}{5}(e^{5x-1})’ = \frac{1}{5} \cdot 5e^{5x-1} = e^{5x-1}$;
$h'(0{,}2) = e^{5 \cdot 0{,}2 — 1} = e^{1 — 1} = e^0 = 1$;
$a = \arctg 1 = \frac{\pi}{4}$;
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

б) $h(x) = e^{-x-\sqrt{3}},\ x_0 = -\sqrt{3}$;
$h'(x) = \left(e^{-x-\sqrt{3}}\right)’ = -e^{-x-\sqrt{3}}$;
$h'(-\sqrt{3}) = -e^{-(-\sqrt{3})-\sqrt{3}} = -e^{\sqrt{3}-\sqrt{3}} = -e^0 = -1$;
$a = 2\pi — \arctg 1 = 2\pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$;
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

в) $h(x) = \frac{1}{3} e^{1-3x},\ x_0 = \frac{1}{3}$;
$h'(x) = \frac{1}{3}(e^{1-3x})’ = \frac{1}{3} \cdot (-3e^{1-3x}) = -e^{1-3x}$;
$h’\left(\frac{1}{3}\right) = -e^{1-3 \cdot \frac{1}{3}} = -e^{1-1} = -e^0 = -1$;
$a = 2\pi — \arctg 1 = 2\pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$;
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

г) $h(x) = e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x — 1},\ x_0 = \sqrt{3}$;
$h'(x) = \left(e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x — 1}\right)’ = \frac{\sqrt{3}}{3} e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x — 1}$;
$h'(\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot e^{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} — 1} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot e^{1 — 1} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot e^0 = \frac{\sqrt{3}}{3}$;
$a = \arctg \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6}$;
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

Найти угол, образованный касательной к графику функции с положительным направлением оси абсцисс в точке с абсциссой $x_0$:

(Уточнение: угол $\alpha$, который образует касательная с положительным направлением оси $Ox$, находится по формуле:

$$\tg(\alpha) = f'(x_0)$$ $$\alpha = \arctg(f'(x_0))$$

Если $f'(x_0) < 0$, то угол берём от $0$ до $2\pi$:

Если производная положительная:

$$\alpha = \arctg(f'(x_0))$$

Если производная отрицательная:

$$\alpha =2\pi -\mathrm{arctg}\left(\mid f^{\mathrm{\prime }}(x_0)\mid \right)$$

а) $h(x) = \dfrac{1}{5} e^{5x — 1}, \quad x_0 = 0{,}2$

1. Производная функции:

$$h(x) = \frac{1}{5} \cdot e^{5x — 1}, \quad h'(x) = \frac{1}{5} \cdot 5e^{5x — 1} = e^{5x — 1}$$

2. Значение производной в точке:

$$h'(0{,}2) = e^{5 \cdot 0{,}2 — 1} = e^0 = 1$$

3. Угол наклона касательной:
Поскольку $f'(x_0) = 1 > 0$, используем:

$$\alpha = \arctg(1) = \frac{\pi}{4}$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi}{4}}$$\boxed{\frac{\pi}{4}}$

б) $h(x) = e^{-x — \sqrt{3}}, \quad x_0 = -\sqrt{3}$

1. Производная:

$$h'(x) = (-1) \cdot e^{-x — \sqrt{3}} = -e^{-x — \sqrt{3}}$$

2. В точке:

$$h'(-\sqrt{3}) = -e^{\sqrt{3} — \sqrt{3}} = -e^0 = -1$$

3. Угол (так как производная отрицательная):

$$\tg(\alpha) = -1 \Rightarrow \alpha = 2\pi — \arctg(1) = 2\pi — \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$$

Но принято ограничивать угол от $0$ до $\pi$, тогда:

$$\alpha = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$

Ответ: $\boxed{\frac{3\pi}{4}}$

в) $h(x) = \frac{1}{3} e^{1 — 3x}, \quad x_0 = \frac{1}{3}$

1. Производная:

$$h'(x) = \frac{1}{3} \cdot (-3) \cdot e^{1 — 3x} = -e^{1 — 3x}$$

2. В точке:

$$h’\left(\frac{1}{3}\right) = -e^{1 — 1} = -e^0 = -1$$

3. Угол:

$$\tg(\alpha) = -1 \Rightarrow \alpha = \pi — \arctg(1) = \frac{3\pi}{4}$$

Ответ: $\boxed{\frac{3\pi}{4}}$

г) $h(x) = e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x — 1}, \quad x_0 = \sqrt{3}$

1. Производная:

$$h'(x) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x — 1}$$

2. В точке:

$$h'(\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot e^{1 — 1} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

3. Угол:

$$\tg(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \alpha = \arctg\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi}{6}}$

Итоги:

а) $\frac{\pi}{4}$

б) $\frac{3\pi}{4}$

в) $\frac{3\pi}{4}$

г) $\frac{\pi}{6}$