ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить неравенство $g'(x) < a$, если:

а) $g(x) = 6 — \frac{1}{2}e^{2x-3}$, $a = \frac{1}{e^3}$;
$g'(x) = (6)’ — \frac{1}{2}(e^{2x-3})’ = 0 — \frac{1}{2} \cdot 2e^{2x-3} = -e^{2x-3}$;

Решение неравенства:
$-e^{2x-3} < \frac{1}{e^3} \mid \cdot (-e^3)$;
$e^{2x} > -1$;
$x \in \mathbb{R}$;

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $g(x) = x + e^{4x-3}$, $a = 5$;
$g'(x) = (x)’ + (e^{4x-3})’ = 1 + 4e^{4x-3}$;

Решение неравенства:
$1 + 4e^{4x-3} < 5$;
$4e^{4x-3} < 4$;
$e^{4x-3} < 1$;
$4x — 3 < 0$;
$4x < 3$;
$x < \frac{3}{4}$;

Ответ: $x \in \left(-\infty; \frac{3}{4}\right)$.

в) $g(x) = \frac{1}{3}e^{3x+5}$, $a = \frac{1}{e}$;
$g'(x) = \frac{1}{3}(e^{3x+5})’ = \frac{1}{3} \cdot 3e^{3x+5} = e^{3x+5}$;

Решение неравенства:
$e^{3x+5} < \frac{1}{e} \mid \cdot e$;
$e^{3x+6} < 1$;
$3x + 6 < 0$;
$3x < -6$;
$x < -2$;

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

г) $g(x) = e^{9x+21} — x$, $a = 8$;
$g'(x) = (e^{9x+21})’ — (x)’ = 9e^{9x+21} — 1$;

Решение неравенства:
$9e^{9x+21} — 1 < 8$;
$9e^{9x+21} < 9$;
$e^{9x+21} < 1$;
$9x + 21 < 0$;
$9x < -21$;
$x < -\frac{7}{3}$;

Ответ: $x \in \left(-\infty; -2\frac{1}{3}\right)$.

Решить неравенство $g'(x) < a$, если задана функция $g(x)$:

а) $g(x) = 6 — \frac{1}{2}e^{2x — 3}, \quad a = \frac{1}{e^3}$

Шаг 1. Найдём производную функции $g(x)$:

$$g'(x) = \frac{d}{dx}\left(6 — \frac{1}{2}e^{2x — 3}\right) = 0 — \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(e^{2x — 3})$$ $$\frac{d}{dx}(e^{2x — 3}) = 2e^{2x — 3}$$ $$g'(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2e^{2x — 3} = -e^{2x — 3}$$

Шаг 2. Подставим в неравенство:

$$g'(x) < a \Rightarrow -e^{2x — 3} < \frac{1}{e^3}$$

Шаг 3. Умножим обе части на $-1$, не забывая поменять знак неравенства:

$$e^{2x — 3} > -\frac{1}{e^3}$$

Шаг 4. Анализ:
Левая часть $e^{2x — 3} > 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$, а правая часть $-\frac{1}{e^3} < 0$.
То есть:

$$e^{2x — 3} > \text{отрицательное число} \Rightarrow \text{всегда верно}$$

Вывод:

$$x \in (-\infty; +\infty)$$

Ответ: $\boxed{x \in (-\infty; +\infty)}$

б) $g(x) = x + e^{4x — 3}, \quad a = 5$

Шаг 1. Найдём производную:

$$g'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(e^{4x — 3}) = 1 + 4e^{4x — 3}$$

Шаг 2. Подставим в неравенство:

$$1 + 4e^{4x — 3} < 5$$

Шаг 3. Перенесём 1:

$$4e^{4x — 3} < 4$$

Шаг 4. Разделим на 4:

$$e^{4x — 3} < 1$$

Шаг 5. Так как $e^a < 1 \Rightarrow a < 0$:

$$4x — 3 < 0$$

Шаг 6. Решим неравенство:

$$4x < 3 \Rightarrow x < \frac{3}{4}$$

Ответ: $\boxed{x \in \left(-\infty; \frac{3}{4}\right)}$

в) $g(x) = \frac{1}{3}e^{3x + 5}, \quad a = \frac{1}{e}$

Шаг 1. Найдём производную:

$$g'(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{dx}(e^{3x + 5}) = \frac{1}{3} \cdot 3e^{3x + 5} = e^{3x + 5}$$

Шаг 2. Подставим в неравенство:

$$e^{3x + 5} < \frac{1}{e}$$

Шаг 3. Представим правую часть как экспоненту:

$$\frac{1}{e} = e^{-1} \Rightarrow e^{3x + 5} < e^{-1}$$

Шаг 4. Приравняем показатели (функция строго возрастающая):

$$3x + 5 < -1$$

Шаг 5. Решим неравенство:

$$3x < -6 \Rightarrow x < -2$$

Ответ: $\boxed{x \in (-\infty; -2)}$

г) $g(x) = e^{9x + 21} — x, \quad a = 8$

Шаг 1. Найдём производную:

$$g'(x) = \frac{d}{dx}(e^{9x + 21}) — \frac{d}{dx}(x) = 9e^{9x + 21} — 1$$

Шаг 2. Подставим в неравенство:

$$9e^{9x + 21} — 1 < 8$$

Шаг 3. Переносим -1:

$$9e^{9x + 21} < 9$$

Шаг 4. Делим на 9:

$$e^{9x + 21} < 1$$

Шаг 5. Используем логарифмический критерий:

$$9x + 21 < 0$$

Шаг 6. Решим:

$$9x < -21 \Rightarrow x < -\frac{7}{3}$$

Ответ: $\boxed{x \in \left(-\infty; -\dfrac{7}{3}\right)}$

Итоги:

а) $x \in (-\infty; +\infty)$

б) $x \in \left(-\infty; \dfrac{3}{4}\right)$

в) $x \in (-\infty; -2)$

г) $x \in \left(-\infty; -\dfrac{7}{3}\right)$