ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $f(x) = -\dfrac{1}{(6x + 1)^2} = -(6x + 1)^{-2}$

б) $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{7x — 9}} = (7x — 9)^{-\frac{1}{2}}$

в) $f(x) = \dfrac{1}{(7x — 3)^2} = (7x — 3)^{-2}$

г) $f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{42-3x}}}$

Найти хотя бы одну первообразную функции:

а) $f(x) = -\dfrac{1}{(6x + 1)^2} = -(6x + 1)^{-2}$

Все первообразные функции:

$$F(x) = -\frac{1}{6} \cdot \frac{(6x + 1)^{-1}}{-1} + C = \frac{1}{6(6x + 1)} + C;$$

Ответ: $F(x) = \dfrac{1}{6(6x + 1)} + \dfrac{1}{5}$

б) $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{7x — 9}} = (7x — 9)^{-\frac{1}{2}}$

Все первообразные функции:

$$F(x) = \frac{1}{7} \cdot (7x — 9)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} + C = \frac{2}{7} \sqrt{7x — 9} + C;$$

Ответ: $F(x) = \dfrac{2}{7} \sqrt{7x — 9} — \dfrac{1}{3}$

в) $f(x) = \dfrac{1}{(7x — 3)^2} = (7x — 3)^{-2}$

Все первообразные функции:

$$F(x) = \frac{1}{7} \cdot \frac{(7x — 3)^{-1}}{-1} + C = \frac{-1}{7(7x — 3)} + C;$$

Ответ: $F(x) = \dfrac{-1}{7(7x — 3)} + 5$

г) $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{42 — 3x}} = (42 — 3x)^{-\frac{1}{2}}$

Все первообразные функции:

$$F(x) = -\frac{1}{3} \cdot (42 — 3x)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} + C = -\frac{2}{3} \sqrt{42 — 3x} + C;$$

Ответ: $F(x) = -\dfrac{2}{3} \sqrt{42 — 3x} + 2$

а) $f(x) = -\dfrac{1}{(6x + 1)^2} = -(6x + 1)^{-2}$

Запишем интеграл:

$$\int f(x)\,dx = \int -(6x + 1)^{-2} \, dx$$

Внутренняя функция:

$$u = 6x + 1, \quad \frac{du}{dx} = 6 \Rightarrow dx = \frac{du}{6}$$

Тогда:

$$\int -(6x + 1)^{-2} \, dx = \int -u^{-2} \cdot \frac{1}{6} \, du = -\frac{1}{6} \int u^{-2} \, du$$

Интегрируем:

$$\int u^{-2} \, du = \frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{u}$$

Подставим обратно:

$$F(x) = -\frac{1}{6} \cdot \left( -\frac{1}{6x + 1} \right) + C = \frac{1}{6(6x + 1)} + C$$

Подставим $C = \frac{1}{5}$:

Ответ: $F(x) = \dfrac{1}{6(6x + 1)} + \dfrac{1}{5}$

б) $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{7x — 9}} = (7x — 9)^{-\frac{1}{2}}$

Рассмотрим интеграл:

$$\int (7x — 9)^{-\frac{1}{2}} \, dx$$

Внутренняя функция:

$$u = 7x — 9, \quad \frac{du}{dx} = 7 \Rightarrow dx = \frac{du}{7}$$

Подстановка:

$$\int u^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{7} \, du = \frac{1}{7} \int u^{-\frac{1}{2}} \, du$$

Интегрируем:

$$\int u^{-\frac{1}{2}} \, du = \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{u}$$

Подставим обратно:

$$F(x) = \frac{1}{7} \cdot 2\sqrt{7x — 9} + C = \frac{2}{7} \sqrt{7x — 9} + C$$

Подставим $C = -\frac{1}{3}$:

Ответ: $F(x) = \dfrac{2}{7} \sqrt{7x — 9} — \dfrac{1}{3}$

в) $f(x) = \dfrac{1}{(7x — 3)^2} = (7x — 3)^{-2}$

Рассмотрим интеграл:

$$\int (7x — 3)^{-2} \, dx$$

Положим:

$$u = 7x — 3, \quad \frac{du}{dx} = 7 \Rightarrow dx = \frac{du}{7}$$

Подставим:

$$\int u^{-2} \cdot \frac{1}{7} \, du = \frac{1}{7} \int u^{-2} \, du$$

Интегрируем:

$$\int u^{-2} \, du = -\frac{1}{u}$$

Подставим:

$$F(x) = \frac{1}{7} \cdot \left( -\frac{1}{7x — 3} \right) + C = \frac{-1}{7(7x — 3)} + C$$

Подставим $C = 5$:

Ответ: $F(x) = \dfrac{-1}{7(7x — 3)} + 5$

г) $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{42 — 3x}} = (42 — 3x)^{-\frac{1}{2}}$

Интеграл:

$$\int (42 — 3x)^{-\frac{1}{2}} \, dx$$

Положим:

$$u = 42 — 3x, \quad \frac{du}{dx} = -3 \Rightarrow dx = \frac{du}{-3}$$

Подставим:

$$\int u^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{-3} \, du = -\frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{2}} \, du$$

Интегрируем:

$$\int u^{-\frac{1}{2}} \, du = \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{u}$$

Подставим:

$$F(x) = -\frac{1}{3} \cdot 2\sqrt{42 — 3x} + C = -\frac{2}{3} \sqrt{42 — 3x} + C$$

Подставим $C = 2$:

Ответ: $F(x) = -\dfrac{2}{3} \sqrt{42 — 3x} + 2$