ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Скорость движения точки по координатной прямой задана формулой v = -4sin3t, t — время движения. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени t = 0 координата точки равнялась числу 2.

Скорость точки задана формулой: $v = -4 \sin 3t$;

Закон движения точки (первообразная функция):
$s(t) = -4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (-\cos 3t) + C = \frac{4}{3} \cos 3t + C$;

При $t = 0$ координата точки равнялась 2, значит:
$2 = \frac{4}{3} \cdot \cos(3 \cdot 0) + C$;
$2 = \frac{4}{3} \cdot \cos 0 + C$;
$\frac{6}{3} = \frac{4}{3} + C$;
$C = \frac{2}{3}$.

Ответ: $s(t) = \frac{4}{3} \cos 3t + \frac{2}{3}$.

Скорость точки на координатной прямой задана формулой:

$$v(t) = -4 \sin(3t)$$

Найти закон движения точки $s(t)$, если в момент времени

$$t = 0,\quad s(0) = 2$$

Шаг 1. Понимание физического смысла

Функция скорости $v(t)$ — это производная координаты $s(t)$ по времени:

$$v(t) = \frac{ds}{dt}$$

Значит, чтобы найти координату $s(t)$, нужно проинтегрировать функцию $v(t)$:

$$s(t) = \int v(t)\, dt = \int -4 \sin(3t)\, dt$$

Шаг 2. Интегрирование

Интегрируем:

$$\int -4 \sin(3t)\, dt$$

Вынесем константу:

$$= -4 \cdot \int \sin(3t)\, dt$$

Вспомним стандартную формулу:

$$\int \sin(k t)\, dt = -\frac{1}{k} \cos(k t) + C$$

Применим её для $k = 3$:

$$\int \sin(3t)\, dt = -\frac{1}{3} \cos(3t)$$

Подставим:

$$-4 \cdot \left( -\frac{1}{3} \cos(3t) \right) = \frac{4}{3} \cos(3t)$$

Добавим произвольную постоянную $C$:

$$s(t) = \frac{4}{3} \cos(3t) + C$$

Шаг 3. Используем начальное условие

По условию:

$$s(0) = 2$$

Подставим в выражение:

$$s(0) = \frac{4}{3} \cos(3 \cdot 0) + C = \frac{4}{3} \cdot \cos(0) + C$$

Значение:

$$\cos(0) = 1 \Rightarrow s(0) = \frac{4}{3} + C$$

Сравним с заданной координатой:

$$2 = \frac{4}{3} + C \Rightarrow C = 2 — \frac{4}{3} = \frac{6}{3} — \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$$

Шаг 4. Подставим $C$ обратно

$$s(t) = \frac{4}{3} \cos(3t) + \frac{2}{3}$$

Ответ:

$$s(t) = \frac{4}{3} \cos(3t) + \frac{2}{3}$$

Это и есть закон движения точки.