ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Ускорение движении точки ни координатной примой задано формулой a(t) = 2(t + 1)², t — время движения. Найдите закон изменения скорости v = v(t) и закон движения s = s(t), если v(0) = 1, s(0) = 1.

Ускорение точки задано формулой: $a(t) = 2(t + 1)^2$;

Определим скорость точки, если $v(0) = 1$:

$$v(t) = 2 \cdot 1 \cdot \frac{(t + 1)^3}{3} + C = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + C;$$ $$1 = \frac{2}{3} \cdot (0 + 1)^3 + C;$$ $$1 = \frac{2}{3} \cdot 1^3 + C;$$ $$\frac{3}{3} = \frac{2}{3} + C;$$ $$C = \frac{1}{3};$$ $$v(t) = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3};$$

Найдем закон движения точки, если $s(0) = 1$:

$$s(t) = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot \frac{(t + 1)^4}{4} + \frac{1}{3}t + C = \frac{(t + 1)^4}{6} + \frac{t}{3} + C;$$ $$1 = \frac{(0 + 1)^4}{6} + \frac{0}{3} + C;$$ $$1 = \frac{1^4}{6} + 0 + C;$$ $$\frac{6}{6} = \frac{1}{6} + C;$$ $$C = \frac{5}{6};$$

Ответ: $$$s(t) = \frac{1}{6}(t + 1)^4 + \frac{1}{3}t + \frac{5}{6}; \quad v(t) = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3}$.

Ускорение точки задано как функция времени:

$$a(t) = 2(t + 1)^2$$

Нужно:

1. Найти закон изменения скорости $v(t)$, если известно $v(0) = 1$
2. Найти закон движения $s(t)$, если известно $s(0) = 1$

Шаг 1. Связь между ускорением и скоростью

Ускорение — это производная скорости:

$$a(t) = \frac{dv}{dt}$$

Значит, чтобы найти скорость, нужно проинтегрировать ускорение:

$$v(t) = \int a(t)\,dt = \int 2(t + 1)^2 \, dt$$

Шаг 2. Интегрируем ускорение

$$v(t) = \int 2(t + 1)^2 \, dt$$

Вынесем константу:

$$= 2 \int (t + 1)^2 \, dt$$

Интеграл от $(t + 1)^2$ по формуле:

$$\int (t + a)^n \, dt = \frac{(t + a)^{n+1}}{n+1} + C$$

Здесь $n = 2$, $a = 1$:

$$\int (t + 1)^2 \, dt = \frac{(t + 1)^3}{3}$$

Тогда:

$$v(t) = 2 \cdot \frac{(t + 1)^3}{3} + C = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + C$$

Шаг 3. Используем начальное условие $v(0) = 1$

Подставим $t = 0$ в выражение:

$$v(0) = \frac{2}{3}(0 + 1)^3 + C = \frac{2}{3} \cdot 1 + C = \frac{2}{3} + C$$

По условию $v(0) = 1$, значит:

$$1 = \frac{2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{1}{3}$$

Записываем окончательный вид скорости:

$$v(t) = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3}$$

Шаг 4. Связь между скоростью и координатой

Скорость — это производная координаты:

$$v(t) = \frac{ds}{dt}$$

Значит, чтобы найти координату $s(t)$, нужно проинтегрировать $v(t)$:

$$s(t) = \int v(t)\, dt = \int \left[ \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3} \right] dt$$

Разделим интеграл на два слагаемых:

$$s(t) = \frac{2}{3} \int (t + 1)^3 dt + \frac{1}{3} \int 1 \, dt$$

Шаг 5. Интегрируем

Первый интеграл:

$$\int (t + 1)^3 dt = \frac{(t + 1)^4}{4}$$

Второй:

$$\int 1\, dt = t$$

Теперь:

$$s(t) = \frac{2}{3} \cdot \frac{(t + 1)^4}{4} + \frac{1}{3} t + C = \frac{(t + 1)^4}{6} + \frac{t}{3} + C$$

Шаг 6. Используем начальное условие $s(0) = 1$

Подставим $t = 0$:

$$s(0) = \frac{(0 + 1)^4}{6} + \frac{0}{3} + C = \frac{1}{6} + 0 + C$$ $$1 = \frac{1}{6} + C \Rightarrow C = 1 — \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$

Шаг 7. Запишем окончательный ответ

Закон скорости:

$$v(t) = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3}$$

Закон движения:

$$s(t) = \frac{1}{6}(t + 1)^4 + \frac{1}{3}t + \frac{5}{6}$$

Ответ:

$$\boxed{ \begin{aligned} v(t) &= \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3} \\ s(t) &= \frac{1}{6}(t + 1)^4 + \frac{1}{3}t + \frac{5}{6} \end{aligned} }$$